Paradoja de la banda esférica

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La paradoja de la banda esférica no es una paradoja en sentido estricto, pero choca con nuestro sentido común debido a que tiene una solución que parece imposible.

Enunciado[editar]

Nos encontramos con una esfera perfectamente lisa con un millón de veces el tamaño de nuestro Sol. Una banda de acero abraza estrechamente a esta esfera alrededor del ecuador.

Esta banda de acero se alarga en 1 metro, de manera que se eleve de la esfera a igual altura en todo su contorno. ¿Esto dejará la banda despegada de la esfera a una altura suficiente como para poder:

  1. ¿Deslizar un papel bajo la banda?
  2. ¿Deslizar una mano bajo la banda?
  3. ¿Deslizar una pelota de tenis bajo la banda?

Aunque a priori la respuesta que daríamos es que es imposible siquiera que un papel pase bajo la banda, la respuesta correcta es que se puede incluso pasar la pelota de tenis, ya que la banda se despega de la esfera unos 16 cm.

Explicación[editar]

La altura a la que se elevará la banda de la esfera es la misma independientemente del tamaño de la esfera, por muy grande o pequeña que sea. El por qué de este hecho es el siguiente: cuando la banda rodea tensamente a la esfera por su ecuador, su longitud es la misma que la longitud del ecuador de la esfera; y esta longitud se calcula multiplicando el diámetro de la esfera por el número π (matemáticamente L=D·π). Si aumentamos la longitud de la banda un metro, el diámetro de la banda aumentará 1/π y como π es aproximadamente 3,1416, el diámetro la banda aumentará aproximadamente 1/3,1415=0,3183 metros, es decir, casi 32 centímetros. Dado que el radio es la mitad del diámetro, la distancia entre el ecuador de la esfera y la banda ampliada es 32/2=16 centímetros.

Esto funciona con esferas de cualquier tamaño, ya sean mil billones de veces el Sol, una naranja o la cabeza de un alfiler.

Explicación matemática[editar]

Matemáticamente esto se puede expresar como:

L0: Longitud circunferencia original

D0: Diámetro del círculo original

L1: Longitud circunferencia ampliada

D1: Diámetro del círculo ampliado

 \pi : número pi (3.1415....)

Entonces:

L0 =  \pi x D0 (1)

L1 =  \pi x D1 (2)

L1 = L0 + 1m (3)

Reemplazando L1 de la ecuación (3) en la ecuación (2) obtenemos:

L0 + 1m =  \pi x D1

Reemplazando L0 de la ecuación (1) en la ecuación anterior obtenemos:

 \pi x D0 +1m =  \pi x D1

dividiendo por  \pi ambos miembros de la igualdad

D0 + 1m/ \pi = D1

D1 = D0 + 0.3183... m

O sea el nuevo diámetro es unos 32 cm mayor que el original, independientemente del diámetro original.

Véase también[editar]