Operador de Hutchinson

En matemáticas, particularmente en el estudio de fractales, un operador de Hutchinson​ es la acción colectiva de un conjunto de contracciones, llamada un sistema iterativo de funciones.​ La iteración del operador converge hacia un único atractor el cual es, con frecuencia, autosimilar al conjunto arreglado del operador.

Definición

Dejando a $\{f_{i}:X\to X\ |\ 1\leq i\leq N\}$ ser un sistema iterativo de funciones, o un conjunto de contracciones de un espacio compacto $X$ hacia sí mismo. El operador $H$ es definido sobre subconjuntos $S\subset X$ como

$H(S)=\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S).\,$

Una pregunta clave es el describir los atractores $A=H(A)$ de este operador, los cuales son espacios compactos. Una forma de generar tal espacio es el empezar con un espacio compacto inicial $S_{0}\subset X$ (el cual puede ser un punto singular, llamado semilla) e iterar $H$ de la siguiente manera

$S_{n+1}=H(S_{n})=\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S_{n})$

y tomando el límite, la iteración converge hacia el atractor

$A=\lim _{n\to \infty }S_{n}.$

Propiedades

Hutchinson demostró en 1981 la existencia de la unicidad del atractor $A$. La prueba consiste en mostrar que el operador de Hutchinson es contractivo en el conjunto de subconjuntos compactos de $X$ en la distancia de Hausdorff.

El conjunto de las funciones $f_{i}$ con composición forman un monoide. Con funciones N, entonces uno puede visualizar el monoide como un árbol k-ario completo o una celosía de Bethe.

Referencias

• Datos: Q5950719