Ver el código de «Número perfecto múltiple»

[[File:Multiply perfect number Cuisenaire rods 6.png|thumb|300px|Demostración con [[regletas de Cuisenaire]] de la 2-perfección del número 6]]

En [[matemáticas]], un '''número perfecto múltiple''' (también llamado '''número multiperfecto''' o '''número pluscuamperfecto''') es una generalización del [[número perfecto]].

Para un [[número natural]] ''k'' dado, un número ''n'' se llama ''k''-perfecto (o ''k'' veces-perfecto) [[bicondicional|si y solo si]] la suma de todos los [[divisibilidad|divisores]] positivos de ''n'' (la [[función divisor]], ''σ''(''n'')) es igual a ''kn''; un número es por lo tanto [[Número perfecto|perfecto]] [[bicondicional|si y solo si]] es 2-perfecto. Un número que es ''k''-perfecto para un cierto ''k'' se llama número perfecto múltiple. A partir de 2014, se conocen números ''k'' perfectos para cada valor de ''k'' hasta 11.<ref name=fl/>

Se desconoce si hay números perfectos múltiples impares que no sean 1. Los primeros números perfectos múltiples son:
:1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, 33550336, 45532800, 142990848, 459818240, ... {{OEIS|A007691}}.

==Ejemplo==
La suma de los divisores de 120 es
:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360
que es 3 × 120. Por lo tanto, 120 es un número perfecto de 3.

==Los números ''k'' perfectos más pequeños conocidos==

La siguiente tabla ofrece una descripción general de los números ''k'' perfectos más pequeños conocidos para ''k'' ≤ 11 {{OEIS|A007539}}:

{|class="wikitable col1cen" width=800px style="font-size:80%;"
! ''k'' !! Número ''k''-perfecto más pequeño conocido !! Factores !! Encontrado por
|-
|1||[[Uno|1]]||||''en la antigüedad''
|-
|2||[[Seis|6]]||2 × 3||''en la antigüedad''
|-
|3||[[Ciento veinte|120]]||2<sup>3</sup> × 3 × 5||''en la antigüedad''
|-
|4||30240||2<sup>5</sup> × 3<sup>3</sup> × 5 × 7||[[René Descartes]], hacia 1638
|-
|5||14182439040||2<sup>7</sup> × 3<sup>4</sup> × 5 × 7 × 11<sup>2</sup> × 17 × 19||René Descartes, hacia 1638
|-
|6||154345556085770649600 (21 dígitos)||2<sup>15</sup> × 3<sup>5</sup> × 5<sup>2</sup> × 7<sup>2</sup> × 11 × 13 × 17 × 19 × 31 × 43 × 257||[[Robert Daniel Carmichael]], 1907
|-
|7||141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 (57 dígitos)||2<sup>32</sup> × 3<sup>11</sup> × 5<sup>4</sup> × 7<sup>5</sup> × 11<sup>2</sup> × 13<sup>2</sup> × 17 × 19<sup>3</sup> × 23 × 31 × 37 × 43 × 61 × 71 × 73 × 89 × 181 × 2141 × 599479||TE Mason, 1911
|-
|8||826809968707776137289924...057256213348352000000000 (133 dígitos)||2<sup>62</sup> × 3<sup>15</sup> × 5<sup>9</sup> × 7<sup>7</sup> × 11<sup>3</sup> × 13<sup>3</sup> × 17<sup>2</sup> × 19 × 23 × 29 × ... × 487 × 521<sup>2</sup> × 601 × 1201 × 1279 × 2557 × 3169 × 5113 × 92737 × 649657 (38 factores primos distintos)||Stephen F. Gretton, 1990<ref name=fl>{{cite web|url=http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/mpn.html|title=The Multiply Perfect Numbers Page|access-date=2014-01-22|first=Achim|last=Flammenkamp}}</ref>
|-
|9||561308081837371589999987...415685343739904000000000 (287 dígitos)||2<sup>104</sup> × 3<sup>43</sup> × 5<sup>9</sup> × 7<sup>12</sup> × 11<sup>6</sup> × 13<sup>4</sup> × 17 × 19<sup>4</sup> × 23<sup>2</sup> × 29 × ... × 17351 × 29191 × 30941 × 45319 × 106681 × 110563 × 122921 × 152041 × 570461 × 16148168401 (66 factores primos distintos)||Fred Helenius, 1995<ref name=fl/>
|-
|10||448565429898310924320164...000000000000000000000000 (639 dígitos)||2<sup>175</sup> × 3<sup>69</sup> × 5<sup>29</sup> × 7<sup>18</sup> × 11<sup>19</sup> × 13<sup>8</sup> × 17<sup>9</sup> × 19<sup>7</sup> × 23<sup>9</sup> × 29<sup>3</sup> × ... × 583367 × 1609669 × 3500201 × 119782433 × 212601841 × 2664097031 × 2931542417 × 43872038849 × 374857981681 × 4534166740403 (115 factores primos distintos)||[[George Woltman]], 2013<ref name=fl/>
|-
|11||251850413483992918774837...000000000000000000000000 (1907 dígitos)||2<sup>468</sup> × 3<sup>140</sup> × 5<sup>66</sup> × 7<sup>49</sup> × 11<sup>40</sup> × 13<sup>31</sup> × 17<sup>11</sup> × 19<sup>12</sup> × 23<sup>9</sup> × 29<sup>7</sup> × ... × 25922273669242462300441182317 × 15428152323948966909689390436420781 × 420391294797275951862132367930818883361 × 23735410086474640244277823338130677687887 × 628683935022908831926019116410056880219316806841500141982334538232031397827230330241 (246 factores primos distintos)||George Woltman, 2001<ref name=fl/>
|}

==Propiedades==

Se puede probar que:

* Para un [[número primo]] ''p'' dado, si ''n'' es ''p''-perfecto y ''p'' no divide a ''n'', entonces ''pn'' es (''p''+1)-perfecto. Esto implica que un entero ''n'' es un número 3 perfecto divisible por 2, pero no por 4, si y solo si ''n''/2 es un [[número perfecto]] impar, de los cuales no se conoce ninguno.
* Si 3''n'' es 4''k''-perfecto y 3 no divide a ''n'', entonces ''n'' es 3''k''-perfecto.

==Números perfectos múltiples impares==

Se desconoce si existen números perfectos múltiples impares distintos de 1. Sin embargo, si existiese un número ''n'' ''k''-perfecto impar para ''k'' > 2, entonces debe cumplir las siguientes condiciones:<ref name="HBI105" />
* El factor primo más grande es ≥ 100129
* El segundo factor primo más grande es ≥ 1009
* El tercer factor primo más grande es ≥ 101

==Límites==

En [[Cota superior asintótica|notación o-minúscula]], el número de números perfectos múltiples menores que ''x'' es <math>o(x^\varepsilon)</math> para todo ε > 0.<ref name="HBI105">{{harvnb|Sándor|Mitrinović|Crstici|2006|p=105}}</ref>

El número de números ''k'' perfectos ''n'' para ''n'' ≤ ''x'' es menor que <math>cx^{c'\log\log\log x/\log\log x}</math>, donde ''c'' y ''c' '' son constantes independientes de ''k''.<ref name="HBI105" />

Bajo el supuesto de la [[hipótesis de Riemann]], la siguiente desigualdad es cierta para todos los números ''k'' perfectos ''n'', cuando ''k'' > 3.

:<math>\log\log n > k\cdot e^{-\gamma}</math>

cuando <math>\gamma</math> es la [[Constante de Euler-Mascheroni|constante gamma de Euler]]. Esto se puede probar usando la [[función divisor]].

El número de divisores τ(''n'') de un ''k''-número perfecto ''n'' satisface la desigualdad:<ref>{{cite arXiv|last=Dagal|first=Keneth Adrian P.|eprint=1309.3527|title=A Lower Bound for τ(n) for k-Multiperfect Number|class=math.NT|date=2013}}</ref>
:<math>\tau(n) > e^{k - \gamma}</math>.

El número de factores primos distintos ω(''n'') de ''n'' satisface que:<ref name="HBI106">{{harvnb|Sándor|Mitrinović|Crstici|2006|p=106}}</ref>

:<math>\omega(n) \ge k^2-1</math>

Si los distintos factores primos de ''n'' son <math>p_1, p_2, \ldots, p_r</math>, entonces:<ref name="HBI106" />
:<math>r \left(\sqrt[r]{3/2} - 1\right) < \sum_{i=1}^{r} \frac{1}{p_i} < r \left(1 - \sqrt[r]{6/k^2}\right), ~~ \text{si }n\text{ es par}</math>
:<math>r \left(\sqrt[3r]{k^2} - 1\right) < \sum_{i=1}^{r} \frac{1}{p_i} < r \left(1 - \sqrt[r]{8/(k\pi^2)}\right), ~~ \text{si }n\text{ es impar}</math>

==Valores específicos de ''k''==
===Números perfectos===
{{AP|Número perfecto}}
Un número ''n'' con σ(''n'')= 2''n'' es '''perfecto'''.

===Números triperfectos===
Un número ''n'' con σ(''n'')= 3''n'' es '''triperfecto'''. Solo hay seis números triperfectos conocidos y se cree que estos comprenden todos esos números:

120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160 {{OEIS|A005820}}

Si existe un número perfecto impar ''m'' (un famoso problema abierto) entonces 2''m'' sería 3 perfecto, ya que σ(2''m'')= σ(2)*σ(''m'')= 3*2''m''. Un número triperfecto impar debe ser un número cuadrado superior a 10<sup>70</sup> y tener al menos 12 factores primos distintos, el mayor superior a 10<sup>5</sup>.<ref>{{harvnb|Sándor|Mitrinović|Crstici|2006|pp=108–109}}</ref>

==Variaciones==
===Números perfectos múltiples unitarios===
Se puede hacer una extensión similar para los [[número perfecto unitario|números perfectos unitarios]]. Un entero positivo ''n'' se denomina '''número perfecto''' ''k'' '''múltiple unitario''' si σ<sup>*</sup>(''n'')=''kn'' donde σ<sup>*</sup>(''n'') es la suma de sus [[divisor unitario|divisores unitarios]] (un divisor ''d'' de un número ''n'' es un divisor unitario si ''d'' y ''n/d'' no comparten factores comunes).

Un '''número perfecto múltiple unitario''' es simplemente un número perfecto ''k'' múltiple unitario para algún entero positivo ''k''. De manera equivalente, los números perfectos múltiples unitarios son aquellos ''n'' para los cuales ''n'' divide a σ<sup>*</sup>(''n''). Un número perfecto 2 múltiple unitario se llama naturalmente '''número perfecto unitario'''. En el caso ''k'' > 2, no se conoce hasta ahora ningún ejemplo de un número perfecto ''k'' múltiple unitario. Se sabe que si tal número existe, debe ser par y mayor que 10<sup>102</sup> y debe tener más de cuarenta y cuatro factores primos impares. Este problema es probablemente muy difícil de resolver. El concepto de divisor unitario se debió originalmente a R. Vaidyanathaswamy (1931), quien llamó a dicho divisor factor de bloque. La terminología actual se debe a E. Cohen (1960).

Los primeros números perfectos múltiples unitarios son:
:1, 6, 60, 90, 87360 {{OEIS|A327158}}

===Números perfectos múltiples biunitarios===

Un entero positivo ''n'' se denomina '''número perfecto''' ''k'' '''múltiple biunitario''' si σ<sup>**</sup>(''n'')= ''kn'' donde σ<sup>**</sup>(''n'') es la suma de sus [[divisor unitario|divisores unitarios]]. Este concepto se debe a Peter Hagis (1987). Un '''número perfecto múltiple biunitario''' es simplemente un número perfecto ''k'' múltiple biunitario para algún entero positivo ''k''. De manera equivalente, los números perfectos múltiples biunitarios son aquellos ''n'' para los cuales ''n'' divide a σ<sup>**</sup>(''n''). Un número perfecto 2 múltiple biunitario se llama naturalmente '''número perfecto biunitario''', y un número perfecto 3 múltiple biunitario se llama '''número triperfecto biunitario'''.

Un divisor ''d'' de un entero positivo ''n'' se denomina '''divisor biunitario''' de ''n'' si el máximo común divisor unitario (mcud) de ''d'' y de ''n''/''d'' es igual a 1. Este concepto se debe a D. Surynarayana (1972). La suma de los divisores bi-unitarios (positivos) de ''n'' se denota por σ<sup>**</sup>(''n'').

Peter Hagis (1987) demostró que no existen números perfectos múltiples biunitarios impares. Haukken y Sitaramaiah (2020) encontraron todos los números triperfectos biunitarios de la forma 2<sup>''a''</sup>''u'', donde 1 ≤ ''a'' ≤ 6 y ''u'' es impar,<ref name="HS2020a">{{harvnb|Haukkanen|Sitaramaiah|2020a}}</ref><ref name="HS2020b">{{harvnb|Haukkanen|Sitaramaiah|2020b}}</ref><ref name="HS2020c">{{harvnb|Haukkanen|Sitaramaiah|2020c}}</ref> y parcialmente el caso donde ''a''= 7.<ref name="HS2020d">{{harvnb|Haukkanen|Sitaramaiah|2020d}}</ref><ref name="HS2021a">{{harvnb|Haukkanen|Sitaramaiah|2021a}}</ref> Además, demostraron por completo el caso ''a''= 8.<ref name="HS2021b">{{harvnb|Haukkanen|Sitaramaiah|2021b}}</ref>

Los primeros números perfectos múltiples biunitarios son:
:1, 6, 60, 90, 120, 672, 2160, 10080, 22848, 30240 {{OEIS|A189000}}

==Referencias==
{{listaref}}

==Bibliografía==
*{{Cita publicación
|first1=Kevin A.
|last1=Broughan
|first2=Qizhi
|last2=Zhou
|title=Odd multiperfect numbers of abundancy 4
|journal= Journal of Number Theory
|doi=10.1016/j.jnt.2007.02.001
|year=2008
|mr=2419178
|volume=126
|number=6
|pages=1566–1575
|url=https://researchcommons.waikato.ac.nz/bitstream/10289/1796/1/Odd%20multiperfect%20numbers%20of%20abundancy%204.pdf
|hdl=10289/1796
|hdl-access=free
}}
* {{cite book|last=Guy|first=Richard K.|author-link=Richard K. Guy|title=Unsolved problems in number theory|url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|edition=3rd|year=2004|isbn=978-0-387-20860-2|zbl=1058.11001|at=B2 }}
*{{Cita publicación
|first1=Pentti
|last1=Haukkanen
|first2=V. 
|last2=Sitaramaiah 
|title=Bi-unitary multiperfect numbers, I
|journal= Notes on Number Theory and Discrete Mathematics
|doi=10.7546/nntdm.2020.26.1.93-171
|year=2020a
|volume=26
|number=1
|pages=93–171
|url=http://nntdm.net/papers/nntdm-26/NNTDM-26-1-093-171.pdf

}}
*{{Cita publicación
|first1=Pentti
|last1=Haukkanen
|first2=V. 
|last2=Sitaramaiah 
|title=Bi-unitary multiperfect numbers, II
|journal= Notes on Number Theory and Discrete Mathematics
|doi=10.7546/nntdm.2020.26.2.1-26
|year=2020b
|volume=26
|number=2
|pages=1–26
|url=http://nntdm.net/papers/nntdm-26/NNTDM-26-2-001-026.pdf

}}
*{{Cita publicación
|first1=Pentti
|last1=Haukkanen
|first2=V. 
|last2=Sitaramaiah 
|title=Bi-unitary multiperfect numbers, III
|journal= Notes on Number Theory and Discrete Mathematics
|doi=10.7546/nntdm.2020.26.3.33-67
|year=2020c
|volume=26
|number=3
|pages=33–67
|url=http://nntdm.net/papers/nntdm-26/NNTDM-26-3-033-067.pdf

}}
*{{Cita publicación
|first1=Pentti
|last1=Haukkanen
|first2=V. 
|last2=Sitaramaiah 
|title=Bi-unitary multiperfect numbers, IV(a)
|journal= Notes on Number Theory and Discrete Mathematics
|doi=10.7546/nntdm.2020.26.4.2-32
|year=2020d
|volume=26
|number=4
|pages=2–32
|url=https://nntdm.net/papers/nntdm-26/NNTDM-26-4-002-032.pdf

}}
*{{Cita publicación
|first1=Pentti
|last1=Haukkanen
|first2=V. 
|last2=Sitaramaiah 
|title=Bi-unitary multiperfect numbers, IV(b)
|journal= Notes on Number Theory and Discrete Mathematics
|doi=10.7546/nntdm.2021.27.1.45-69
|year=2021a
|volume=27
|number=1
|pages=45–69
|url=https://nntdm.net/papers/nntdm-27/NNTDM-27-1-045-069.pdf

}}
*{{Cita publicación
|first1=Pentti
|last1=Haukkanen
|first2=V. 
|last2=Sitaramaiah 
|title=Bi-unitary multiperfect numbers, V
|journal= Notes on Number Theory and Discrete Mathematics
|doi=10.7546/nntdm.2021.27.2.20-40
|year=2021b
|volume=27
|number=2
|pages=20–40
|url=https://nntdm.net/papers/nntdm-27/NNTDM-27-2-020-040.pdf

}}
* {{Cita publicación|zbl=0612.10006|last=Kishore|first=Masao|title=Odd triperfect numbers are divisible by twelve distinct prime factors|journal= Journal of the Australian Mathematical Society, Series A|volume=42|issue=2|pages=173–182|year=1987|issn=0263-6115|doi=10.1017/s1446788700028184 }}
* {{Cita publicación
|first1=Richard
|last1=Laatsch
|title=Measuring the abundancy of integers
|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1986-04_59_2/page/84
|journal=[[Mathematics Magazine]]
|jstor=2690424
|year=1986
|volume=59
|number=2
|pages=84–92
|mr=0835144|issn=0025-570X|zbl=0601.10003
|doi=10.2307/2690424}}
* {{Cita publicación
|first1=James G.
|last1=Merickel
|title= Divisors of Sums of Divisors: 10617
|journal= The American Mathematical Monthly
|year=1999
|jstor=2589515
|volume=106
|number=7
|page=693
|mr=1543520
|doi=10.2307/2589515
}}
* {{Cita publicación
|first1=Richard F.
|last1=Ryan
|title=A simpler dense proof regarding the abundancy index
|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2003-10_76_4/page/299
|journal= Mathematics Magazine
|year=2003
|volume=76
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|pages=299–301
|doi=10.1080/0025570X.2003.11953197
|jstor=3219086
|mr=1573698
|s2cid=120960379
}}
* {{cite book|editor1-last=Sándor|editor1-first=Jozsef|editor2-last=Crstici|editor2-first=Borislav|title=Handbook of number theory II|url=https://archive.org/details/handbooknumberth00sand_741|location=Dordrecht|publisher=Kluwer Academic|year=2004|isbn=1-4020-2546-7|pages=[https://archive.org/details/handbooknumberth00sand_741/page/n33 32]–36|zbl=1079.11001 }}
* {{cite book|editor1-last=Sándor|editor1-first=József|editor2-last=Mitrinović|editor2-first=Dragoslav S.|editor3-last=Crstici|editor3-first=Borislav|title=Handbook of number theory I|location=Dordrecht|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|year=2006|isbn=1-4020-4215-9|zbl=1151.11300 }}
* {{Cite thesis|degree=PhD
|first1= Ronald M.
|last1=Sorli
|title=Algorithms in the study of multiperfect and odd perfect numbers
|year=2003
|hdl=10453/20034
|publisher=University of Technology|location= Sydney
}}
* {{Cita publicación
|first1= Paul A.
|last1=Weiner
|title=The abundancy ratio, a measure of perfection
|url= https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2000-10_73_4/page/307
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|year=2000
|jstor=2690980
|volume=73
|number=4
|pages=307–310
|mr=1573474
|doi=10.1080/0025570x.2000.11996860
|s2cid=119773896
}}

==. Véase también ==
* [[Número hemiperfecto]]

== Enlaces externos ==
* [http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/mpn.html The Multiply Perfect Numbers page]
* [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=MultiplyPerfect The Prime Glossary: Multiply perfect numbers]
* {{YouTube|id=DhPtIf-hpuU|title=The Six Triperfect Numbers}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Función divisor]]
[[Categoría:Sucesiones de números enteros]]
[[Categoría:Números perfectos]]