Notación de slash

En el estudio de campos fermiónicos en teoría cuántica de campo, Richard Feynman inventó la notación de slash. Si A es un vector covariante (es decir, una 1-forma),

A\!\!\!/\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{\mu }A_{\mu }

Identidades

Usando las reglas de anticonmutación de las matrices gamma, se puede mostrar que, para cualquier $a_{\mu }$ y $b_{\mu }$ , se verifica que

a\!\!\!/a\!\!\!/=a^{\mu }a_{\mu }=a^{2}

a\!\!\!/b\!\!\!/+b\!\!\!/a\!\!\!/=2a\cdot b\,

.

a\!\!\!/^{+}=\gamma ^{0}a\!\!\!/\gamma ^{0}

En particular,

\partial \!\!\!/^{2}=\partial ^{2}.

Se pueden obtener diferentes identidades a partir de las distintas identidades de las matrices gamma al reemplazar el tensor métrico por productos interiores (o producto escalar). Por ejemplo,

\operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/)=4a\cdot b

\operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]

\operatorname {tr} (\gamma _{5}a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4i\epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }

\gamma _{\mu }a\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2a\!\!\!/

.

\gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/\gamma ^{\mu }=4a\cdot b\,

\gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2c\!\!\!/b\!\!\!/a\!\!\!/\,

donde $\epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }$ es el símbolo de Levi-Civita.

A menudo, cuando se trabaja con la ecuación de Dirac, se usa la notación de slash para el cuadrimomento:

Utilizando la base de Dirac para las matrices $\gamma \,$ ,

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}\,

así como la definición del cuadrimomento

p_{\mu }=\left(E,-p_{x},-p_{y},-p_{z}\right)\,

se ve explícitamente que

{\begin{aligned}p\!\!/&=\gamma ^{\mu }p_{\mu }=\gamma ^{0}p_{0}+\gamma ^{i}p_{i}\\&={\begin{bmatrix}p_{0}&0\\0&-p_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{i}p_{i}\\-\sigma ^{i}p_{i}&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}E&-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-E\end{bmatrix}}\end{aligned}}

Se obtienen resultados similares en otras bases, como en la base de Weyl.