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Número de osculación

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En geometría, el número de osculación es el máximo número de esferas de radio 1 que pueden tocar simultáneamente a la esfera unitaria en un espacio euclídeo n-dimensional. El problema del número de osculación pretende obtener el número de esferas como una función de n (dimensión del espacio).

Números de Osculación conocidos

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El número de osculación en dimensión 1 es 2.
El número de osculación en dimensión 2 es 6.
  • En dimensión 1, el número de osculación es, de modo obvio, 2:
  • En dimensión 2, es sencillo ver y probar que el número de osculación es 6.

Demostración: Dada una circunferencia con centro C y radio r que es tocada por circunferencias del mismo radio con centros C1, C2, .... Considerar los radios C Ci. Todos estos radios parten del mismo centro C, con lo que la suma de ángulos entre radios adyacentes es 360°. Supongamos por reducción al absurdo que hay más de 6 circunferencias que se tocan. Entonces existen al menos dos radios adyacentes, por ejemplo C C1 y C C2, que están separados por un ángulo inferior a 60°. Todos los segmentos C Ci tienen la misma longitud igual a 2r. El triángulo C C1 C2 que se forma es isósceles, y su base C1 C2 tiene una longitud inferior a 2r. Entonces las circunferencias C1 y C2 se interseccionan, con lo que llegamos a la contradicción. Análogamente, llegaríamos a una contradicción el suponer que hubiera menos de 6 circunferencias que se tocan. En este caso, las circunferencias estarían separadas.

  • En dimensión 3 la respuesta ya no es tan sencilla. Podemos disponer fácilmente 12 esferas de modo que cada una esté en contacto con la central, pero queda mucho espacio libre entre unas y otras, de modo que no es obvio que no haya forma de colocar la esfera número 13. Este fue un tema de controversia entre los matemáticos Isaac Newton y David Gregory. Newton pensaba que el límite era 12 y Gregory que era 13. La cuestión no se resolvió hasta 1874: Newton tenía razón.[1]​
  • En dimensión 4, durante un tiempo se ignoró si la solución era 24 o 25. En 2003, Oleg Musin probó que la solución correcta era 24.[2]​
  • En dimensión n, con n > 4, se desconoce la respuesta excepto para n = 8 (240), y n = 24 (196560).[3]​[4]​

Algunos límites conocidos

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La tabla siguiente lista algunos de los límites conocidos de los números de osculación en varias dimensiones. Las dimensiones en las que se conocen los números de osculación están listadas en negrita.

Dimensión Límite
Mínimo 		Límite
Máximo
1 2
2 6
3 12
4 24
5 40 45
6 72 78
7 126 135
8 240
9 306 366
10 500 567
11 582 915
12 840 1,416
13 1,130 2,233
14 1,582 3,492
15 2,564 5,431
16 4,320 8,313
17 5,346 12,215
18 7,398 17,877
19 10,688 25,901
20 17,400 37,974
21 27,720 56,852
22 49,896 86,537
23 93,150 128,096
24 196,560

Referencias

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  1. ↑ Conway, John H.; Neil J.A. Sloane (1999). Sphere Packings, Lattices and Groups (3rd ed. edición). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9. 
  2. ↑ Pfender, Florian; Ziegler, Günter M. (September 2004), «Kissing numbers, sphere packings, and some unexpected proofs», Notices of the American Mathematical Society: 873-883 ..
  3. ↑ Levenshtein, V. I. Boundaries for packings in n-dimensional Euclidean space. (Russian) Dokl. Akad. Nauk SSSR 245 (1979), no. 6, 1299—1303
  4. ↑ Odlyzko, A. M., Sloane, N. J. A. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions. J. Combin. Theory Ser. A 26 (1979), no. 2, 210—214

Véase también

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