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Medida (matemáticas)

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En matemáticas, el concepto de medida es la generalización y formalización de las medidas geométricas y otras nociones como la probabilidad de los sucesos aleatorios. La medida es un concepto fundamental en teoría de la medida y teoría de la probabilidad.

Definición

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Medida

Sea un espacio medible.

Una medida sobre es una aplicación (véase: recta real extendida) que verifica:

  1. La medida del conjunto vacío es cero:
    .
  2. -aditividad: la medida de una unión numerable de conjuntos disjuntos es igual a la suma de las medidas.
    .

La terna se denomina espacio de medida.

Ejemplos

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  • Medida contadora: la terna es un espacio de medida, donde:
    .
    donde denota el número de elementos de .
  • Medida de Dirac: fijado un elemento la terna es un espacio de medida, donde:
    .
  • Medida de Lebesgue: definida en , (donde es la -álgebra de Lebesgue), es la única medida invariante por traslaciones que extiende la noción de longitud de los intervalos en .

Propiedades

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Propiedades de las medidas

  1. Aditividad finita:
  2. Monotonía:
  3. Continuidad creciente:
  4. Continuidad decreciente:
  5. -subaditividad: la medida de una unión numerable de conjuntos (no necesariamente disjuntos) es menor o igual a la suma de las medidas.
    .

Medida exterior

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Medida exterior

Una medida exterior sobre es una aplicación que verifica:

  1. La medida del conjunto vacío es cero:
    .
  2. Monotonía:
    .
  3. -subaditividad:
    .

Toda medida definida en es medida exterior, pero el recíproco no es cierto.

El interés de las medidas exteriores recae en que son fáciles de construir y en que se puede aplicar el teorema de Carathéodory para construir medidas a partir de ellas:

Teorema de Carathéodory

Sea una medida exterior sobre .

  • La familia
es una -álgebra sobre
  • es una medida sobre .

En definitiva, es un espacio de medida.

Además, si , entonces (y naturalmente ), lo que implica que es un espacio de medida completo.

Véase también

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Referencias

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Bibliografía

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  • Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin : Mesure, intégration, probabilités, Ellipses, 2013.
  • Th. Hawkins, The Lebesgue's Theory of Integration, Madison, 1970.
  • A. Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, París, 1992.
  • Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Exercices corrigés en théorie de la mesure et de l'intégration, Ellipses 1995, ISBN 2-7298-9550-7.