Método de la transformada de ondícula de módulo máximo

La Transformada Wavelet de Módulo Máximo (WTMM por sus siglas en inglés) es un método para detectar la dimensión fractal de una señal.

Además de esto, WTMM es capaz de particionar el tiempo y dominio de escala de una señal en regiones de dimensión fractal. En ocasiones se menciona este método como un "microscopio matemático" debido a su capacidad de inspeccionar en varias escalas las características dimensionales de una señal y posiblemente informar sobre las fuentes de estas características.

El método WTMM utiliza la Transformada Wavelet Continua en lugar de la Transformada de Fourier para detectar singularidades, es decir discontinuidades, áreas donde no la señal no es continua en una derivada particular.

En particular, este método es útil cuándo se analizan señales multifractales, aquellas que tienen múltiples dimensiones fractales.

Descripción[editar]

Considerar una señal que puede ser representado por la siguiente ecuación:

$f(t)=a_{0}+a_{1}(t-t_{i})+a_{2}(t-t_{i})^{2}+\cdots +a_{h}(t-t_{i})^{h_{i}}$

Donde $t$ es cercano $t_{i}$ y $h_{i}$ es un valor no entero que cuantifica la singularidad local. (Compare esto con la Serie de Taylor, donde se utiliza solo un número limitado de términos de bajo nivel para aproximar una función continua.)

Generalmente, la Transformada Wavelet Continua descompone una señal como una función del tiempo, en lugar de suponer que la señal es estacionaria (por ejemplo la Transformada de Fourier). Cualquier Wavelet continua puede ser utilizada, aunque la primera derivada de la Distribución Gaussiana y la Wavelet Sombrero Mexicano (2.ª derivada de la Gaussiana) son las más comunes. La elección de la wavelet puede depender de las características de la señal que se está investigando.

A continuación se muestra una posible base wavelet dada por la primera derivada de la Gaussiana:

G'(t,a,b)={a \over {(2\pi )^{-1/2}}}(t-b)e^{{-(t-b)^{2}} \over {2a^{2}}}

Una vez que la "wavelet madre" ha sido seleccionada, la transformada wavelet se lleva a cabo como una función continua y de cuadrado integrable que puede ser escalada y traducida. Sean $a>0$ la constante de escala y $b\in \mathbb {R}$ la traducción de la wavelet a lo largo de la señal:

$x_{w}(a,b)={{1} \over {\sqrt {a}}}\int \limits _{\infty }^{\infty }x(t)\psi ^{\ast }({t-b \over a})dt$

Dónde $\psi (t)$ es una función continua en el dominio de tiempo y el dominio de frecuencia llamada la "wavelet madre" y $^{\ast }$ representa la operación de conjugado.

Calculando $X_{w}(a,b)$ por wavelets posteriores que son derivadas de la wavelet madre, las singularidades pueden ser identificadas. Wavelets de derivadas sucesivas eliminan la influencia de los términos de bajo nivel en la señal, dejando el máximo $h_{i}$ para ser detectado. (Recordar que cuando tomando derivadas, los términos de bajo nivel se hacen 0) Esto es el "Módulo Máximo".

De esta forma, este método identifica el espectro de singularidad a través de convoluciones de la señal con una wavelet en diferentes intervalos de tiempo y escala.

El WTMM es entonces capaz de producir un "esqueleto" que particiona la escala y el espacio tiempo por la dimensión fractal.

Historia[editar]

La WTMM fue desarrollada fuera del campo más grande que es la Transformada Wavelet Continua, el cual surgió en la década de 1980, y sus contemporáneo métodos de dimensión fractal .

En esencia, es una combinación de los métodos "box counting" de dimensión fractal y la transformada wavelet continua, donde wavelets en varias escalas son utilizadas en lugar de "boxes".

WTMM fue originalmente desarrollada por Mallat y Hwang en 1992 y utilizado para procesamiento de imágenes.

Bacry, Muzy y Arneodo fueron usuarios tempranos de esta metodología. Posteriormente ha sido utilizado en campos relacionados al procesamiento de señales.

Referencias[editar]

Alain Arneodo et al. (2008), Scholarpedia, 3(3):4103.[1]
A Wavelet Tour of Signal Processing, by Stéphane Mallat; ISBN 012466606X; Academic Press, 1999 Mallat, S.; Hwang, W.L.;, "Singularity detection and processing with wavelets," IEEE Transactions on Information Theory, volume 38, number 2, pages 617–643, Mar 1992 doi:10.1109/18.119727
Arneodo en Wavelets "Wavelets and multifractal formalism for singular signals : application to turbulence data", J.F. Muzy, E. Bacry and A. Arneodo, Physical Review Letters 67, 3515 (1991).
"Multifractal formalism for fractal signals: the structure fonction approach versus the wavelet transform modulus maxima method", J.F. Muzy, E. Bacry and A. Arneodo, Phys. Rev. E 47, 875

Datos: Q7975372