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La '''lógica matemática''', también llamada '''lógica simbólica''', '''lógica teorética''', '''lógica formal''' o '''logística''',<ref>Evandro Agazzi, 1986.</ref> es el estudio formal y simbólico de la [[lógica]], y su aplicación a algunas áreas de la matemática y la [[ciencia]]. Comprende la aplicación de las técnicas de la lógica formal a la construcción y el desarrollo de las matemáticas y el razonamiento matemático, y conversamente la aplicación de técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel crucial en el estudio de los [[fundamentos de las matemáticas]].

La lógica matemática estudia la [[inferencia]] mediante la construcción de [[Sistema formal|sistemas formales]] como la [[lógica proposicional]], la [[lógica de primer orden]] o la [[lógica modal]]. Estos sistemas capturan las características esenciales de las inferencias válidas en los [[Lenguaje natural|lenguajes naturales]], pero al ser estructuras formales susceptibles de análisis matemático, permiten realizar [[Demostración matemática|demostraciones]] rigurosas sobre ellas.

La lógica matemática se suele dividir en cuatro áreas: [[teoría de modelos]], [[teoría de la demostración]], [[teoría de conjuntos]] y [[teoría de la computabilidad]]. La teoría de la demostración y la teoría de modelos fueron el fundamento de la lógica matemática. La teoría de conjuntos se originó en el estudio del infinito por [[Georg Cantor]] y ha sido la fuente de muchos de los temas más desafiantes e importantes de la lógica matemática, desde el [[teorema de Cantor]], el [[axioma de elección]] y la cuestión de la independencia de la [[hipótesis del continuo]], al debate moderno sobre grandes [[axiomas]] cardinales. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las [[ciencias de la computación]]. La teoría de la computabilidad captura la idea de la computación en términos lógicos y aritméticos. Sus logros más clásicos son la indecidibilidad del [[Entscheidungsproblem]] de [[Alan Turing]] y su presentación de la [[tesis de Church-Turing]]. Hoy en día, la teoría de la computabilidad se ocupa principalmente del problema más refinado de las clases de complejidad (¿cuándo es un problema eficientemente solucionable?) y de la clasificación de los grados de insolubilidad.

La lógica matemática también estudia las [[Definición (matemática)|definiciones]] de nociones y objetos matemáticos básicos como [[conjunto]]s, [[número]]s, [[Demostración matemática|demostraciones]] y [[algoritmo]]s. La lógica matemática estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes formales y las propiedades [[Metalógica|metalógicas]] de los mismos.

En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado dentro de un determinado sistema formal. En un nivel avanzado, la lógica matemática se ocupa de la posibilidad de axiomatizar las teorías matemáticas, de clasificar su capacidad expresiva, y desarrollar métodos computacionales útiles en sistemas formales. La [[teoría de la demostración]] y la [[matemática inversa]] son dos de los razonamientos más recientes de la lógica matemática abstracta. Debe señalarse que la lógica matemática se ocupa de sistemas formales que pueden no ser equivalentes en todos sus aspectos, por lo que la lógica matemática no es un método para descubrir verdades del mundo físico real, sino solo una fuente posible de modelos lógicos aplicables a teorías científicas, muy especialmente a la matemática convencional.

Por otra parte, la lógica matemática no estudia el concepto de [[razonamiento]] humano general o el proceso creativo de construcción de demostraciones matemáticas mediante argumentos rigurosos pero con lenguaje informal con algunos signos o diagramas, sino solo de demostraciones y razonamientos que se pueden formalizar por completo.

== Áreas ==

La ''[[Mathematics Subject Classification]]'' divide la lógica matemática en las siguientes áreas:

* [[Filosofía de la matemática|Filosófica]] y crítica
* Lógica general (que incluye campos como la [[lógica modal]] y la [[lógica borrosa]])
* [[Teoría de modelos]]
* [[Teoría de la computabilidad]]
* [[Teoría de conjuntos]]
* [[Teoría de la demostración]] y matemática constructiva algebraica
* Modelos no estándar

En algunos casos hay conjunción de intereses con la [[informática teórica]], pues muchos pioneros de la informática, como [[Alan Turing]], fueron matemáticos y lógicos. Así, el estudio de la [[semántica]] de los [[lenguajes de programación]] procede de la teoría de modelos, así como también la [[verificación de programas]] y el caso particular de la técnica del ''[[model checking]]''. También el [[isomorfismo]] de Churry-Howard entre pruebas y programas se corresponde con la teoría de pruebas, donde la [[lógica intuicionista]] y la [[lógica lineal]] son especialmente significativas.

Algunos sistemas formales como el [[cálculo lambda]] y la [[lógica combinatoria]] entre otras han devenido en auténticos lenguajes de programación, creando nuevos paradigmas como son la [[programación funcional]] y la [[programación lógica]].

== Sistemas formales ==

{{Extracto|Sistema formal}}

== Metalógica ==

{{Extracto|Metalógica}}

== Teoría de modelos ==

{{Extracto|Teoría de modelos}}

== Teoría de la computabilidad ==

{{Extracto|Teoría de la computabilidad}}

== Teoría de conjuntos ==

{{Extracto|Teoría de conjuntos}}

== Teoría de la demostración ==

{{Extracto|Teoría de la demostración}}

== Historia ==

El uso más temprano de matemáticas y de geometría en relación con la lógica y la filosofía se remonta a los griegos antiguos tales como Euclides, Platón, y Aristóteles. Muchos otros filósofos antiguos y medievales aplicaron ideas y métodos matemáticos a sus afirmaciones filosóficas.

En el {{siglo|XVIII||s}} se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]], pero su labor permaneció desconocida y aislada. También por parte de [[Gottfried Leibnitz|Leibniz]]  que desarrolló la idea de un ''[[calculus ratiocinator]]'', un sistema de reglas para simplificar oraciones compuestas.

=== {{Siglo|XIX||S}} ===

A partir de la segunda mitad del {{siglo|XIX||s}}, la lógica sería revolucionada profundamente. En 1847, [[George Boole]] publicó un breve tratado titulado ''El análisis matemático de la lógica'', y en 1854 otro más importante titulado ''Las leyes del pensamiento''. La idea de Boole fue construir a la lógica como un [[cálculo]] en el que los [[Valor de verdad|valores de verdad]] se representan mediante el F (falsedad) y la V (verdad), y a los que se les aplican [[Operación matemática|operaciones matemáticas]] como la [[suma]] y la [[multiplicación]].

En el último tercio del {{siglo|XIX||s}} la lógica va a encontrar su transformación más profunda de la mano de las investigaciones matemáticas y lógicas, junto con el desarrollo de la investigación de las estructuras profundas del lenguaje, la lingüística, convirtiéndose definitivamente en una ciencia formal. Es una ciencia formal, ya que estudia las ideas y constituye una herramienta conceptual para todas las otras ciencias y áreas del conocimiento. y forma parte de un conjunto sistemático de conocimientos racionales y coherentes, que se ocupan del estudio de los procesos lógicos y matemáticos,

Al mismo tiempo, [[Augustus De Morgan]] publica en 1847 su obra ''Lógica formal'', donde introduce las [[leyes de De Morgan]] e intenta generalizar la noción de silogismo. Otro importante contribuyente inglés fue [[John Venn]], quien en 1881 publicó su libro ''Lógica Simbólica'', donde introdujo los famosos [[Diagrama de Venn|diagramas de Venn]].

[[Charles Sanders Peirce]] y [[Ernst Schröder]] también hicieron importantes contribuciones.

Sin embargo, la verdadera revolución de la lógica vino de la mano de [[Gottlob Frege]], quien frecuentemente es considerado como el lógico más importante de la historia, junto con Aristóteles. En su trabajo de 1879, la ''Conceptografía'', Frege ofrece por primera vez un sistema completo de [[lógica de predicados]] y [[Cálculo proposicional de Frege|cálculo proposicional]]. También desarrolla la idea de un [[lenguaje formal]] y define la noción de [[Demostración matemática|prueba]]. Estas ideas constituyeron una base teórica fundamental para el desarrollo de las [[computadoras]] y las [[ciencias de la computación]], entre otras cosas. Pese a esto, los contemporáneos de Frege pasaron por alto sus contribuciones, probablemente a causa de la complicada notación que desarrolló el autor. En 1893 y 1903, Frege publica en dos volúmenes ''Las leyes de la aritmética'', donde intenta deducir toda la [[matemática]] a partir de la lógica, en lo que se conoce como el [[Logicismo|proyecto logicista]]. Su sistema y su aplicación a la [[teoría de conjuntos]], sin embargo, contenía una contradicción (la [[paradoja de Russell]]).

''Lógica matemática'' fue el nombre dado por [[Giuseppe Peano]] para esta disciplina. En esencia, es la lógica de [[Aristóteles]], pero desde el punto de vista de una nueva [[Notación matemática|notación]], más abstracta, tomada del [[álgebra]].

=== {{Siglo|XX||S}} ===

En el {{siglo|XX||s}} hubo uno de los enormes desarrollos en lógica. A partir del {{siglo|XX||s}}, la lógica pasó a estudiarse por su interés intrínseco, y no solo por sus virtudes como [[propedéutica]], por lo que se estudió a niveles mucho más abstractos.

En 1910, [[Bertrand Russell]] y [[Alfred North Whitehead]] publican ''[[Principia mathematica]]'', un trabajo monumental en el que logran gran parte de la matemática a partir de la lógica, evitando caer en las paradojas en las que cayó Frege. Se suponía que las teorías matemáticas eran tautologías lógicas, y el programa debía mostrar esto por medio de una reducción de la matemática a la lógica. Los autores reconocen el mérito de Frege en el prefacio. En contraste con el trabajo de Frege, ''Principia mathematica'' tuvo un éxito rotundo, y llegó a considerarse uno de los trabajos de no ficción más importantes e influyentes de todo el {{siglo|XX||s}}. ''Principia mathematica'' utiliza una notación inspirada en la de [[Giuseppe Peano]], parte de la cual todavía es muy utilizada hoy en día.

En 1912 [[Clarence Irving Lewis|C. I. Lewis]] publica ''Conditionals and the Algebra of Logic'', justo después de los ''Principia Mathematica'' de Russell y Whitehead. En 1918 publica ''A Survey of Symbolic Logic'' en donde propone un nuevo condicional más adecuado para recoger el significado de la expresión «si... entonces» del lenguaje natural. Lewis lo llama [[implicación estricta]]. El nuevo condicional requiere, para ser verdadero, una relación más fuerte entre el antecedente y el consecuente que el condicional clásico.

En 1920 [[David Hilbert]] propuso de forma explícita un proyecto de investigación (en ''[[metamatemática]]'', como se llamó entonces) que acabó siendo conocido como [[programa de Hilbert]]. Quería que la [[matemática]] fuese formulada sobre unas bases sólidas y completamente lógicas. El proyecto fue refutado por los [[teoremas de incompletitud de Gödel]]. Tanto la declaración del programa de Hilbert como su refutación por Gödel dependían de su trabajo estableciendo el segundo ámbito de la lógica matemática, la aplicación de las matemáticas a la lógica en la forma de la [[teoría de la demostración]]. A pesar de la naturaleza negativa de los teoremas de la incompletitud, el teorema de la complejidad de Gödel, un resultado en la teoría de modelos y otra aplicación de las matemáticas a la lógica, puede ser entendido como una demostración del logismo cercano: toda teoría matemática rigurosamente definida puede ser capturada exactamente por una teoría de primer orden. El cálculo de la prueba de Frege es suficiente para describir toda la matemática, aunque no sea equivalente a ella.

El origen de los [[Teoría de la computabilidad|modelos abstractos de computación]] se encuadra en los años 1930 (antes de que existieran los ordenadores modernos), en el trabajo de los lógicos [[Alonzo Church]], [[Kurt Gödel]], [[Stephen Kleene]], [[Emil Leon Post]], [[Haskell Curry]] y [[Alan Turing]]. Estos trabajos iniciales han tenido una profunda influencia, tanto en el desarrollo teórico como en abundantes aspectos de la práctica de la computación; previendo incluso la existencia de ordenadores de propósito general, la posibilidad de interpretar programas, la dualidad entre ''[[software]]'' y ''[[hardware]]'', y la representación de lenguajes por estructuras formales basados en reglas de producción.

La [[deducción natural]] fue introducida por [[Gerhard Gentzen]] en su trabajo ''Investigaciones sobre la inferencia lógica (Untersuchungen über das logische Schliessen)'', publicado en 1934-1935.

En los años 1940 [[Alfred Tarski]] comenzó a desarrollar junto a sus discípulos el [[álgebra relacional]], en la que pueden expresarse tanto la [[teoría axiomática de conjuntos]] como la [[Axiomas de Peano|aritmética de Peano]]. También desarrolló junto a sus discípulos las [[álgebras cilíndricas]], que son a la [[lógica de primer orden]] lo que el [[álgebra booleana]] a la [[lógica proposicional]]. En 1941 publicó en inglés uno de los manuales de lógica más acreditados, ''Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences''.

[[Noam Chomsky]] en 1956 propone una clasificación jerárquica de distintos tipos de [[Gramática formal|gramáticas formales]] que generan [[Lenguaje formal|lenguajes formales]] llamada [[jerarquía de Chomsky]].

Si bien a la luz de los sistemas contemporáneos la [[lógica aristotélica]] puede parecer equivocada e incompleta, [[Jan Łukasiewicz]] mostró que, a pesar de sus grandes dificultades, la lógica aristotélica era consistente, si bien había que interpretarse como [[lógica de clases]], lo cual no es pequeña modificación. Por ello la silogística prácticamente no tiene uso actualmente.

Además de la lógica proposicional y la lógica de predicados, el {{siglo|XX||s}} vio el desarrollo de muchos otros sistemas formales; entre los que destacan las muchas [[Lógica modal|lógicas modales]].

== Véase también ==

* [[Noción primitiva]]
* [[Función indicatriz]]
* [[Retroalimentacion]]
* [[Cibernética]]
* [[Teoría de sistemas]]
* [[Emergencia (filosofía)]]
* [[Pensamiento sistémico]]
* [[Dinámica de sistemas]]
* [[Mereología]]
* [[Sistema complejo]]
* [[Sistema dinámico]]
* [[Argumento]]
* [[Lógica informal]]
* [[Representación del conocimiento]]
* [[Lógica]]
* [[Anexo:Símbolos lógicos]]
* [[Lógica proposicional]]
* [[Fórmula bien formada]]

== Referencias ==

{{Listaref}}

== Bibliografía ==

* {{Cita libro |apellidos=Agazzi |nombre=Evandro |título=Lógica simbólica |año=1986 |editorial=Herder |isbn=9788425401305}}
* {{Cita libro |apellidos=Enderton |nombre=Herbert |título=A mathematical introduction to logic |año=2001 |editorial=[[Academic Press]] |isbn=978-0-12-238452-3 |ubicación=Boston, MA |edición=2nd}}
* {{Citation |last1=Hamilton |first1=A. G. |title=Logic for Mathematicians |publisher=[[Cambridge University Press]] |location=Cambridge |edition=2nd |isbn=978-0-521-36865-0 |year=1988}}
* {{Citation |last1=Ebbinghaus |first1=H.-D. |last2=Flum |first2=J. |last3=Thomas |first3=W. |title=Mathematical Logic |url=https://archive.org/details/mathematicallogi1996ebbi |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |location=[[Nueva York]] |edition=2nd |isbn=0-387-94258-0 |year=1994}}

=== Bibliografía adicional ===
==== Para estudiantes universitarios ====
* {{Cite book |last=Walicki |first=Michał |date=2011 |title=Introduction to Mathematical Logic |location=[[Singapore]] |publisher= World Scientific Publishing |isbn=9789814343879
}}
* {{Cite book |last1=Boolos |first1=George |author1-link=George Boolos |last2=Burgess |first2=John |last3=Jeffrey |first3=Richard  |date=2002 |title=Computability and Logic |edition=4th |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=9780521007580
}}
* {{Cite book |last1=Crossley |first1=J.N. |last2=Ash |first2=C.J. |last3=Brickhill |first3=C.J. |last4=Stillwell |first4=J.C. |last5=Williams |first5=N.H. |date=1972 |title=What is mathematical logic? |url=https://archive.org/details/whatismathematic0000john |location=London, Oxford, New York City |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=9780198880875 |zbl=0251.02001
}}
* {{Cite book |last=Fisher |first=Alec |date=1982 |title=Formal Number Theory and Computability: A Workbook |edition=1st |others=(suitable as a first course for independent study) |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-853188-3 
}}
* {{Cite book |last=Hamilton |first=A.G. |date=1988 |title=Logic for Mathematicians |url=https://archive.org/details/logicformathemat0000hami |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-36865-0 
}}
* {{Cite book |last1=Katz |first1=Robert |date=1964 |title=Axiomatic Analysis |location=[[Boston]] MA |publisher= D. C. Heath and Company
}}
* {{Cite book |last=Mendelson |first=Elliott  |date=1997 |title=Introduction to Mathematical Logic |edition=4th |location=London |publisher=[[Chapman & Hall]] |isbn=978-0-412-80830-2 
}}
* {{Cite book |last=Rautenberg |first=Wolfgang  |date=2010 |title=A Concise Introduction to Mathematical Logic |edition=3rd |location=[[New York City]] |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |doi=10.1007/978-1-4419-1221-3 |isbn=9781441912206
}}
* {{Cite book |last=Schwichtenberg |first=Helmut  |year=2003–2004 |title=Mathematical Logic |location=[[Munich]] |publisher=Mathematisches Institut der Universität München |access-date=2016-02-24 |url=http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~schwicht/lectures/logic/ws03/ml.pdf 
}}
* Shawn Hedman, ''A first course in logic: an introduction to model theory, proof theory, computability, and complexity'', [[Oxford University Press]], 2004, {{isbn|0-19-852981-3}}. Covers logics in close relation with [[computability theory]] and [[Computational complexity theory|complexity theory]]
* {{Cite book |last=van Dalen |first=Dirk |date=2013 |title=Logic and Structure |url=https://archive.org/details/logicstructure0005dale |series=Universitext |location=Berlin |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |doi=10.1007/978-1-4471-4558-5 |isbn=978-1-4471-4557-8 }}

==== Textos para graduados ====
* {{Cite book |last=Hinman |first=Peter G. |date=2005 |title= Fundamentals of mathematical logic |publisher=A K Peters, Ltd. |isbn=1-56881-262-0
}}
* {{Cite book |last=Andrews |first=Peter B. |date=2002 |title=An Introduction to Mathematical Logic and Type Theory: To Truth Through Proof |url=https://archive.org/details/introductiontoma0000andr_h2a3 |edition=2nd |location=[[Boston]] |publisher=Kluwer Academic Publishers |isbn=978-1-4020-0763-7 
}}
* {{Cite book| editor-last=Barwise |editor-first=Jon  |date=1989 |title=Handbook of Mathematical Logic |location=[[Amsterdam]] |publisher=[[Elsevier]] |series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics |isbn=9780444863881 
}}
* {{Cite book |last=Hodges |first=Wilfrid  |date=1997 |title=A shorter model theory |url=https://archive.org/details/shortermodeltheo0000hodg |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=9780521587136
}}
* {{Cite book |last=Jech |first=Thomas  |date=2003 |title=Set Theory: Millennium Edition |url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4 |series=Springer Monographs in Mathematics |location=Berlin, New York |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=9783540440857 
}}
* [[Stephen Cole Kleene|Kleene, Stephen Cole]].(1952), ''[https://books.google.com/books?id=HZAjPwAACAAJ&source=gbs_ViewAPI Introduction to Metamathematics.]'' New York: Van Nostrand. (Ishi Press: 2009 reprint).
* [[Stephen Cole Kleene|Kleene, Stephen Cole]]. (1967),  ''[http://worldcat.org/oclc/523472 Mathematical Logic.]'' John Wiley. Dover reprint, 2002. {{isbn|0-486-42533-9}}.
* {{Cite book |last=Shoenfield |first=Joseph R.  |date=2001 |title=Mathematical Logic |edition=2nd |publisher= A K Peters |isbn=9781568811352 
}}
* {{Cite book |last1=Troelstra |first1=Anne Sjerp  |last2=Schwichtenberg |first2=Helmut |date=2000 |title=Basic Proof Theory |edition=2nd |series=Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-77911-1 }}

==== Artículos y textos clásicos, y colecciones ====

* {{cite journal |last1=Banach |first1=Stefan |author-link1=Stefan Banach |last2=Tarski |first2=Alfred |author-link2=Alfred Tarski |date=1924 |title=Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes |journal=[[Fundamenta Mathematicae]] |volume=6 |pages=244–277 |doi=10.4064/fm-6-1-244-277 |language=fr  |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf
}}
* {{cite book |editor-last=Bochenski |editor-first=Jozef Maria |date=1959 |title=A Precis of Mathematical Logic |series=Synthese Library, Vol. 1 |location=[[Dordrecht]] |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |doi=10.1007/978-94-017-0592-9 |isbn=9789048183296}}
* {{Cite book |last=Burali-Forti |first=Cesare |date=1897 |title=A question on transfinite numbers }} Reprinted in {{harvnb|van Heijenoort|1976|pp=104–111}}
* {{Cite journal |last=Cantor |first=Georg |year=1874 |title=Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen |journal= Journal für die Reine und Angewandte Mathematik |volume=1874 |issue=77 |pages=258–262 |doi=10.1515/crll.1874.77.258 |s2cid=199545885 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/download/PPN243919689_0077/PPN243919689_0077___LOG_0014.pdf |idioma= alemán }}
* {{cite book |last=Carroll |first=Lewis |author-link=Lewis Carroll |date=1896 |title=Symbolic Logic |publisher=Kessinger Legacy Reprints |isbn=9781163444955 |url=https://www.gutenberg.org/ebooks/28696
}}
* {{cite book |last=Dedekind |first=Richard |author-link=Richard Dedekind |date=1872 |title=Stetigkeit und irrationale Zahlen |language=de  }} English translation as: "Consistency and irrational numbers".
* {{cite book |last=Dedekind |first=Richard |author-link=Richard Dedekind |date=1888 |title=Was sind und was sollen die Zahlen? }} Two English translations:
**1963 (1901). ''Essays on the Theory of Numbers''. Beman, W. W., ed. and trans. Dover.
**1996. In ''From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics'', 2 vols, Ewald, William B., ed., [[Oxford University Press]]: 787–832.
* {{cite book |last1=Fraenkel |first1=Abraham A. |author1-link=Abraham Fraenkel |date=1922 |contribution=Der Begriff 'definit' und die Unabhängigkeit des Auswahlsaxioms |title=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse |pages=253–257 |language=de }} Reprinted in English translation as "The notion of 'definite' and the independence of the axiom of choice" in {{harvnb|van Heijenoort|1976|pp=284–289}}.
* [[Gottlob Frege|Frege, Gottlob]] (1879), ''Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens''. Halle a. S.: Louis Nebert. Translation: ''Concept Script, a formal language of pure thought modelled upon that of arithmetic'', by S. Bauer-Mengelberg in {{harvnb|van Heijenoort|1976}}.
* [[Gottlob Frege|Frege, Gottlob]] (1884), ''Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl''. Breslau: W. Koebner. Translation: [[J. L. Austin]], 1974. ''The Foundations of Arithmetic: A logico-mathematical enquiry into the concept of number'', 2nd ed. Blackwell.
* {{cite journal |last=Gentzen |first=Gerhard |author-link=Gerhard Gentzen |date=1936 |title=Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie |journal=Mathematische Annalen |volume=112 |pages=132–213 |doi=10.1007/BF01565428 |s2cid=122719892  }} Reprinted in English translation in Gentzen's ''Collected works'', M. E. Szabo, ed., North-Holland, Ámsterdam, 1969.
*{{Cite book |last=Gödel |first=Kurt |author-link=Kurt Gödel |date=1929 |title=Über die Vollständigkeit des Logikkalküls |trans-title=Completeness of the logical calculus |series=doctoral dissertation |publisher=University Of Vienna
}}
* {{Cite journal |last=Gödel |first=Kurt |author-link=Kurt Gödel |date=1930 |title=Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionen-kalküls |trans-title=The completeness of the axioms of the calculus of logical functions |journal= Monatshefte für Mathematik und Physik |volume=37 |pages=349–360 |doi=10.1007/BF01696781 |s2cid=123343522 |language=de
}}
* {{Cite journal |last=Gödel |first=Kurt |author-link=Kurt Gödel |date=1931 |title=Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I  (On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems) |journal=Monatshefte für Mathematik und Physik |volume=38 |issue=1 |pages=173–198 |doi=10.1007/BF01700692 |s2cid=197663120 |language=de }}
*{{Cite journal |last=Gödel |first=Kurt |author-link=Kurt Gödel |date=1958 |title=Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes |journal=Dialectica |volume=12 |issue=3–4 |pages=280–287 |doi=10.1111/j.1746-8361.1958.tb01464.x |language=de }} Reprinted in English translation in Gödel's ''Collected Works'', vol II, [[Solomon Feferman]] et al., eds. Oxford University Press, 1993.
* {{cite book |editor-last=van Heijenoort |editor-first=Jean |editor-link=Jean van Heijenoort |date=1976 |title=From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 |edition=3rd |location=[[Cambridge, Massachusetts|Cambridge MA]] |publisher=[[Harvard University Press]] |isbn=9780674324497 |id=(pbk.) }}
* {{cite book |last1=Hilbert |first1=David |author1-link=David Hilbert |last2= Sánchez de Zavala (traductor)|first2=Victor|  date=1975 |title= Elementos de lógica teórica (traducción de Grundzüge der theoretischen Logik) |url=https://archive.org/details/elementosdelogic0000davi |location=[[Madrid]] |publisher=Tecnos |language=es|ISBN =84-309-0581-2 }} 
* {{cite book |last=Hilbert |first=David |author-link=David Hilbert |date=1899 |title=Grundlagen der Geometrie |location=[[Leipzig]] |publisher=Teubner |language=de}} English 1902 edition (''The Foundations of Geometry'') republished 1980, Open Court, Chicago.
* {{Cite journal |last=Hilbert |first=David |author-link=David Hilbert |date=1929 |title=Probleme der Grundlegung der Mathematik |journal=Mathematische Annalen |volume=102 |pages=1–9 |doi=10.1007/BF01782335 |s2cid=122870563 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002273500&L=1 |fechaacceso=20 de mayo de 2022 |fechaarchivo=8 de septiembre de 2017 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20170908192448/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002273500&L=1 |deadurl=yes }} Lecture given at the International Congress of Mathematicians, 3 September 1928. Published in English translation as "The Grounding of Elementary Number Theory", in Mancosu 1998, pp.&nbsp;266–273.
* {{Cite book |last1=Hilbert |first1=David |author1-link=David Hilbert |last2=Bernays |first2=Paul |author2-link=Paul Bernays |date=1934 |title=Grundlagen der Mathematik. I |series=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |volume=40 |location=Berlin, New York City |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=9783540041344 |mr=0237246 |jfm=60.0017.02
}}
* {{Cite journal |last=Kleene |first=Stephen Cole |author-link=Stephen Kleene |date=1943 |title=Recursive Predicates and Quantifiers |journal= Transactions of the American Mathematical Society|volume=53 |issue=1 |pages=41–73 |doi=10.2307/1990131 |jstor=1990131 
}}
* {{Cite book |last=Lobachevsky |first=Nikolai |author-link=Nikolai Lobachevsky |date=1840 |title=Geometrishe Untersuchungen zur Theorie der Parellellinien |language=de }} Reprinted in English translation as {{cite book |date=1955 |chapter=Geometric Investigations on the Theory of Parallel Lines |editor=Robert Bonola |title=Non-Euclidean Geometry |publisher=Dover |isbn=0-486-60027-0
}}
* {{Cite journal |last1=Löwenheim |first1=Leopold |author1-link=Leopold Löwenheim |date=1915 |title=Über Möglichkeiten im Relativkalkül |journal=Mathematische Annalen |volume=76 |issue=4 |pages=447–470 |doi=10.1007/BF01458217 |issn=0025-5831 |s2cid=116581304 |language=de |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002266121&L=1 |fechaacceso=20 de mayo de 2022 |fechaarchivo=8 de septiembre de 2017 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20170908192711/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002266121&L=1 |deadurl=yes }} Translated as "On possibilities in the calculus of relatives" in {{cite book |author=Jean van Heijenoort |author-link=Jean van Heijenoort |date=1967 |title=A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 |publisher=Harvard Univ. Press |pages=228–251
}}
* {{Cite book |editor-last=Mancosu |editor-first=Paolo |date=1998 |title=From Brouwer to Hilbert. The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s |publisher=Oxford University Press
}}
* {{cite book |last=Pasch |first=Moritz |author-link=Moritz Pasch |date=1882 |title=Vorlesungen über neuere Geometrie
}}
* {{cite book |last=Peano |first=Giuseppe |author-link=Giuseppe Peano |date=1889 |title=Arithmetices principia, nova methodo exposita |language=lt }} Excerpt reprinted in English translation as "The principles of arithmetic, presented by a new method"in {{harvnb|van Heijenoort|1976|pp=83–97}}.
* {{Cite journal |last=Richard |first=Jules |date=1905 |title=Les principes des mathématiques et le problème des ensembles |journal=Revue Générale des Sciences Pures et Appliquées |volume=16 |page=541 |language=fr}} Reprinted in English translation as "The principles of mathematics and the problems of sets" in {{harvnb|van Heijenoort|1976|pp=142–144}}.
* {{Cite journal |last1=Skolem |first1=Thoralf |date=1920 |title=Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem Theoreme über dichte Mengen |journal=Videnskapsselskapet Skrifter, I. Matematisk-naturvidenskabelig Klasse |volume=6 |pages=1–36 |language=de}}
* {{cite web |last=Soare |first=Robert Irving |date=2011-12-22 |title=Computability Theory and Applications: The Art of Classical Computability |website=Department of Mathematics |publisher=University of Chicago |access-date=2017-08-23 |url=http://www.people.cs.uchicago.edu/~soare/Turing/frontice.pdf}}
* {{cite book |last=Swineshead |first=Richard |author-link=Richard Swineshead |date=1498 |title=Calculationes Suiseth Anglici |publisher=Papie: Per Franciscum Gyrardengum |language=lt }}
* {{Cite book |last=Tarski |first=Alfred |author-link=Alfred Tarski |date=1948 |title=A decision method for elementary algebra and geometry |location=[[Santa Monica, California|Santa Monica CA]] |publisher=[[RAND Corporation]]}}
* {{Cite journal |last1=Turing |first1=Alan M. |author1-link=Alan Turing |date=1939 |title=Systems of Logic Based on Ordinals |journal=[[Proceedings of the London Mathematical Society]] |volume=45 |issue=2 |pages=161–228 |doi=10.1112/plms/s2-45.1.161 |hdl=21.11116/0000-0001-91CE-3 |hdl-access=free}}
* {{cite book |last=Weyl |first=Hermann |date=1918 |title=Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen über die Grund lagen der Analysis |location=Leipzig |language=de}}
* {{Cite journal |last=Zermelo |first=Ernst |author-link=Ernst Zermelo |date=1904 |title=Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann |journal=Mathematische Annalen |volume=59 |issue=4 |pages=514–516 |doi=10.1007/BF01445300 |s2cid=124189935 |language=de |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002260018&L=1 |fechaacceso=20 de mayo de 2022 |fechaarchivo=5 de marzo de 2016 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20160305010226/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002260018&L=1 |deadurl=yes }} Reprinted in English translation as "Proof that every set can be well-ordered" in {{harvnb|van Heijenoort|1976|pp=139–141}}.
* {{Cite journal |last=Zermelo |first=Ernst |author-link=Ernst Zermelo |date=1908a |title=Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung |journal=[[Mathematische Annalen]] |volume=65 |pages=107–128 |doi=10.1007/BF01450054 |issn=0025-5831 |s2cid=119924143 |language=de |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002261952&L=1 |fechaacceso=20 de mayo de 2022 |fechaarchivo=8 de septiembre de 2017 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20170908192142/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002261952&L=1 |deadurl=yes }} Reprinted in English translation as "A new proof of the possibility of a well-ordering" in {{harvnb|van Heijenoort|1976|pp=183–198}}.
* {{Cite journal |last=Zermelo |first=Ernst |author-link=Ernst Zermelo |date=1908b |title=Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre |journal=Mathematische Annalen |volume=65 |issue=2 |pages=261–281 |doi=10.1007/BF01449999 |s2cid=120085563 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0065&DMDID=DMDLOG_0018&L=1 |fechaacceso=20 de mayo de 2022 |fechaarchivo=8 de septiembre de 2017 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20170908192040/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0065&DMDID=DMDLOG_0018&L=1 |deadurl=yes }}

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