Lema de Rasiowa-Sikorski

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En la teoría axiomática de conjuntos, el 'lema de Rasiowa-Sikorski (nombres de Roman Sikorski y Helena Rasiowa) es uno de los hechos más importantes usados en la técnica del Forzado. En el área del forzado, un subconjunto D de una notacion de forzado (P, ≤) es llamado denso en P si para cualquier pP hay un dD con dp. Un filtro F en P es llamado D-genérico si

FE ≠ ∅ para todo ED.

Ahora podemos dar el lema de Rasiowa–Sikorski:

Dados (P, ≤) un poset y pP. Si D is a numerable familia de densos subconjuntos de P entonces existe un D- filtro generico F en P tal que pF.

Prueba del lema de Rasiowa–Sikorski[editar]

Dado que D es numerable, podemos enumerar los subconjuntos densos de P como D1, D2, …. Por suposición, existe pP. Entonces, por la densidad, existe p1p con p1D1. Repitiendo, tenemos … ≤ p2p1p con piDi. Entonces G = { qP: ∃ i, qpi} es un filtro D-generico.

El lema Rasiowa-Sikorski, se puede ver como una forma más débil del axioma de Martin . Más específicamente, es equivalente a MA(\aleph_0).

Ejemplos[editar]

  • Para (P, ≥) = (Func(X, Y), ⊂), el poset de las funciones parciales de X a Y, define Dx = {sP: x ∈ dom(s)}. Si X es enumerable, el lema de Rasiowa–Sikorski da un filtro {Dx: xX}-generico F y por lo tanto una función ∪ F: XY.

Si nos atenemos a la notación utilizada en el tratamiento de D - filtros genéricos , {H ∪ G0: P ij P t} forma una H - filtro genérico .

  • Si nos atenemos a la notación utilizada en el tratamiento de filtros D-genericos, {HG0: PijPt} forman un filtro H-generico.
  • Si D es no numerable, pero la cardinalidad es estrictamente menor que 2^{\aleph_0} y el poset cumple la condicion de cadena numerable, podemos usar en cambio el axioma de Martin.

Véase también[editar]

References[editar]