En Matemática, el lema lifting the exponent o lema LTE proporciona varias fórmulas para calcular la valoración p-ádica
de enteros de la forma
. Este lema de teoría de números elemental es llamado así ya que describe los pasos necesarios para "elevar" (lift) el exponente
en tales expresiones. Está relacionado al Lema de Hensel.
Antecedentes[editar]
Los orígenes exactos del lema no están claros; el resultado con su nombre actual y forma, han sido notado en la primera década del siglo XXI. Sin embargo varias de sus ideas principales utilizadas para su demostración eran conocidas por Gauss y referenciadas en su obra Disquisitiones arithmeticae.[1] A pesar de apareceer principalmente en problemas de competencias, a veces se aplica a temas de investigación, como las curvas elípticas.[2]
Demostración[editar]
Caso Base (p impar)[editar]
Se probará primero el caso base
cuando
. Ya que
,
![{\displaystyle x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}+\dots +y^{n-1}\equiv nx^{n-1}\not \equiv 0{\pmod {p}}\quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58af40968bf01d9125ba4cfdb07a07a060ed17e9)
El hecho que
completa la demostración.
La condición
para
impar es análoga.
Caso General (p impar)[editar]
Por medio de expansión binomial, la substitución
puede ser usada en (1) para mostrar que
ya que (1) es múltiplo de
pero no de
. Similarmente,
.
Entonces, si
es escrito como
donde
, el caso base nos da
.
Por inducción en
,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(x^{p^{a}}-y^{p^{a}})&=\nu _{p}(((\dots (x^{p})^{p}\dots ))^{p}-((\dots (y^{p})^{p}\dots ))^{p})\quad {\text{(exponenciación usada }}a{\text{ veces por término)}}\\&=\nu _{p}(x-y)+a\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3c1e588f5dc896e9aa2f37b41b3fb9cf0cf142)
Un argumento similar puede ser aplicado para
.
Caso general (p = 2)[editar]
La prueba para el caso
impar no puede ser directamente aplicada cuando
porque el coeficiente binomial
es entero múltiplo de
cuando
es impar.
Sin embargo, se puede mostrar que
cuando
al escribir
donde
y
son enteros con
impar y notando que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{2}(x^{n}-y^{n})&=\nu _{2}((x^{2^{a}})^{b}-(y^{2^{a}})^{b})\\&=\nu _{2}(x^{2^{a}}-y^{2^{a}})\\&=\nu _{2}((x^{2^{a-1}}+y^{2^{a-1}})(x^{2^{a-2}}+y^{2^{a-2}})\cdots (x^{2}+y^{2})(x+y)(x-y))\\&=\nu _{2}(x-y)+a\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280d671a08ffe6efeba9338f93edf07309e9c5f8)
dado que
, cada factor de la forma
en el paso de diferencias de cuadrados es congruente a 2 módulo 4.
El resultado más fuerte
cuando
se prueba análogamente.
Para
enteros, un entero positivo
, y un número primo
tal que
y
, las siguientes afirmaciones se cumplen:
- Cuando
es impar:
- Si
, entonces
.
- Si
es impar y
, entonces
.
- Cuando
:
- Si
y
es impar, entonces
. (Es consecuencia del caso general.)
- Si
, entonces
y por tanto
.
- Si
y
es par, entonces
.
- Para todo
:
- Si
y
, entonces
.
- Si
,
y
impar, entonces
.
Encuentre todos los
naturales tales que
.
Solución. Para
,
es verdadera.
Para
,
por tanto
debe ser par. Para los casos
,
y
,
son verdaderas.
Ahora, aplicando el lema LTE
![{\displaystyle v_{2}(3^{n}-1)=v_{2}(3-1)+v_{2}(3+1)+v_{2}(n)-1=v_{2}(n)+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5c24432a35ec69a5bc29e99cc49ff13c03aeb9)
Sabemos que si
debe de suceder que
, por tanto
. De ahí podemos decir
![{\displaystyle v_{2}(n)\geq n-2\Leftrightarrow n\geq 2^{n-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528cfd36b456d439433fd3d823221f3f46065af4)
Resulta que para
,
. Esto se puede probar por inducción, terminando así la prueba.
Referencias[editar]
Véase también[editar]
Enlaces externos[editar]