Diferencia entre revisiones de «Límite (matemática)»
m →Generales: Retocando fórmulas en TeX |
|||
Línea 6: | Línea 6: | ||
=== Definición rigurosa === |
=== Definición rigurosa === |
||
Informalmente |
|||
Informalmente, se dice que '''el límite de la función f(''x'') es ''L'' cuando ''x'' tiende a ''p'' ''', y se escribe |
|||
{{ecuación|<math> \lim_{x\to p} \, \, f(x) = L</math>||center}} |
|||
si se puede encontrar un ''x'' suficientemente cerca de ''p'' tal que el valor de f(''x'') sea próximo a L. Formalmente, utilizando términos [[lógica|lógico-matemáticos]]: |
|||
{{ecuación| |
|||
<math> |
|||
f(x) \to L \Longleftrightarrow\forall \epsilon > 0</math> <math> \exists \delta > 0 : 0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon. |
|||
</math> |
|||
||center}} |
|||
Esta definición se denomina frecuentemente '''definición [[épsilon]]-[[Δ|delta]]''' de límite, y se lee como: |
|||
{{cita|"El límite de la función ''f(x)'', cuando ''x'' tiende a ''p'', es ''L''".}} |
|||
=== Límites notables === |
|||
Como ejemplo de '''límites notables''' tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes. |
|||
* <math> {\lim_{x \to \infty} \left (1+ \frac {1}{x} \right )^x } =\, e </math> ([[número e]]) |
|||
* <math> {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\operatorname{sen\,} x}{x} \right )} =\, 1 </math> (al igual que su recíproca) |
|||
* <math> {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} =\, 1 </math> (al igual que su recíproca) |
|||
==== Demostración ==== |
|||
Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la [[inecuación]] sen(''x'') < x < tan(''x'') en el intervalo (0,π/2), que relaciona ''x'' con las funciones [[función seno|seno]] y [[tangente]]. Luego dividimos por sen(''x''), obteniendo: |
|||
:<math>1 < \frac{x}{\operatorname{sen\,}(x)} < \frac{1}{\cos(x)}</math> |
|||
Elevando los términos de la inecuación a -1: |
|||
:<math>\cos(x) < \frac{\operatorname{sen\,} x}{x} < 1</math> |
|||
Calculando el límite cuando ''x'' tiende a 0: |
|||
:<math>\lim_{x\to 0} \cos(x) < \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen\,}(x)}{x} < \lim_{x\to 0} 1 </math> |
|||
Lo que es igual a: |
|||
:<math>1 < \frac{\operatorname{sen\,}(x)}{x} < 1</math> |
|||
Aplicando el [[teorema del sándwich]], el límite se ve forzado a valer 1: |
|||
:<math>\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen\,}(x)}{x}=1</math> |
|||
El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. O sea: |
|||
:<math> |
|||
{\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} = |
|||
{\lim_{x \to 0} \left (\frac {\operatorname{sen\,} x}{x} \right )} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos(x)}= |
|||
1 \cdot 1 = 1 |
|||
</math> |
|||
El límite que obtiene el [[número e]] se demuestra de manera análoga, desarrollando el [[binomio de Newton]] y aplicando el límite cuando ''x'' tiende a [[infinito]]. |
|||
== Límite de una sucesión == |
== Límite de una sucesión == |
Revisión del 21:51 8 jul 2009
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
Límite de una función
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/L%C3%ADmite_01.svg/250px-L%C3%ADmite_01.svg.png)
Definición rigurosa
Informalmente
Límite de una sucesión
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Sucesi%C3%B3n_001.svg/250px-Sucesi%C3%B3n_001.svg.png)
La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando tiende a . Decimos que la sucesión tiende hasta su límite , o que converge o es convergente (a ), lo que denotamos como:
si podemos encontrar un número tal que todos los términos de la sucesión a cuando crece sin cota. Formalmente:
Propiedades de los límites
Generales
Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.
- Límite por un escalar.
- donde k es un multiplicador escalar.
- Límite de una suma.
- Límite de una resta.
- Límite de una multiplicación.
- Límite de una división.
Indeterminaciones
Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:
A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser desigualdades o la regla de L'Hopital.
Un ejemplo de indeterminación del tipo es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :