Ver el código de «Gran dirrombicosidodecaedro»

{{Ficha de politopo}}

En [[geometría]], el '''gran dirrombicosidodecaedro''' (o '''gran disicosidisdodecaedro romo''') es un [[poliedro uniforme estrellado]], indexado como {{math|U<sub>75</sub>}} (la última posición de la lista de [[Magnus Wenninger]]). Posee 124 caras (40 [[triángulo]]s, 60 [[cuadrado]]s y 24 [[Estrella pentagonal|pentagramas]]), 240 [[Arista (geometría)|aristas]] y 60 [[Vértice (geometría)|vértices]].<ref>{{Cite web|url=https://www.mathconsult.ch/static/unipoly/75.html|title=75: great dirhombicosidodecahedron|last=Maeder|first=Roman|date=|website=MathConsult|archive-url=|archive-date=|access-date=}}</ref>

Es el único poliedro uniforme no degenerado con más de seis caras que se encuentran en un vértice. En cada vértice coinciden 4 cuadrados que pasan por el eje central del vértice (y por tanto, por el centro de la figura), alternando con dos triángulos y dos pentagramas. Otra característica inusual del gran dirrombicosidodecaedro es que todas las caras aparecen en pares coplanares.

También es el único poliedro uniforme que no se puede generar a partir de un triángulo esférico mediante la [[construcción de Wythoff]]. Su [[símbolo de Wythoff]], {{math|{{!}} {{frac|3|2}} {{frac|5|3}} 3 {{frac|5|2}},}} es una notación especial que lo relaciona con un [[cuadrilátero]] esférico. Este símbolo sugiere que es una especie de [[poliedro romo]], excepto que en lugar de que las caras originales estén rodeadas por triángulos como en la mayoría de los poliedros romos, están rodeadas por cuadrados.

Ha sido apodado ''el monstruo de Miller'' (en honor a [[J. C. P. Miller]], quien con [[Harold Scott MacDonald Coxeter]] y [[M. S. Longuet-Higgins]] enumeró los poliedros uniformes en 1954).

==Poliedros relacionados==

Si la definición de poliedro uniforme se relaja para permitir cualquier número par de caras adyacentes a una arista, entonces esta definición da lugar a otro poliedro: el [[gran dirrombidodecaedro birromo]] que tiene los mismos vértices y aristas pero con una disposición diferente de caras triangulares.

Los vértices y aristas también se comparten con los compuestos uniformes de [[Compuesto de veinte octaedros|20 octaedros]] o de [[compuesto de veinte tetrahemihexaedros|20 tetrahemihexaedros]]. De sus 240 aristas, comparte 180 con el [[gran dodecicosidodecaedro romo]].

{|class="wikitable" width="400" style="vertical-align:top;text-align:center"
|[[File:Nonuniform2-rhombicosidodecahedron.png|100px]]<br />[[Envolvente convexa]]
|[[File:Great snub dodecicosidodecahedron.png|100px]]<br />[[Gran dodecicosidodecaedro romo]]
|[[File:Great dirhombicosidodecahedron.png|100px]]<br />'''Great Gran dirrombicosidodecaedro'''
|-
|[[File:Great disnub dirhombidodecahedron.png|100px]]<br />[[Gran dirrombidodecaedro birromo]]
|[[File:UC14-20 octahedra.png|100px]]<br />[[Compuesto de veinte octaedros]]
|[[File:UC19-20 tetrahemihexahedron.png|100px]]<br />[[Compuesto de veinte tetrahemihexaedros]]
|}

Este poliedro está relacionado con el [[gran rombicosidodecaedro no convexo]] (el cuasirrombicosidodecaedro) por un recubrimiento ramificado: existe una correspondencia desde el gran dirrombicosidodecaedro hacia el cuasirrombicosidodecaedro que es 2 a 1 en todas partes, excepto en los vértices.<ref>{{cite web|url=https://homepages.wmich.edu/~drichter/great_dirhombicosidodecahedron.htm|title=Great Dirhombicosidodecahedron|fechaacceso=28 de agosto de 2023|fechaarchivo=18 de octubre de 2018|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20181018072752/http://homepages.wmich.edu/~drichter/great_dirhombicosidodecahedron.htm|deadurl=yes}}</ref>

==Coordenadas cartesianas==
Las [[coordenadas cartesianas]] para los vértices de un gran dirrombicosidodecaedro son todas las permutaciones pares (con un número par de signos más) de:

:<math>\left(0, \pm\frac{2}{\tau}, \pm\frac{2}{\sqrt{\tau}}\right),\left(\pm\left(-1+\frac{1}{\sqrt{\tau^3}}\right), \pm\left(\frac{1}{\tau^2}-\frac{1}{\sqrt{\tau}}\right), \pm\left(\frac{1}{\tau}+\sqrt{\tau}\right)\right),
</math>
: <math>\left(\pm\left(\frac{-1}{\tau}+\sqrt{\tau}\right), \pm\left(-1-\frac{1}{\sqrt{\tau^3}}\right), \pm\left(\frac{1}{\tau^2}+\frac{1}{\sqrt{\tau}}\right)\right),</math>

donde τ = (1+{{raíz|5}})/2 es el [[número áureo]] (a veces escrito φ). Estos vértices dan como resultado una longitud de borde de 2{{raíz|2}}.

==Galería==
{|class="wikitable" width="400" style="vertical-align:top;text-align:center"
|align=center|[[File:Great dirhombicosidodecahedron.png|150px]]<br />Relleno tradicional
|align=center|[[File:Great dirhombicosidodecahedron 2.png|150px]]<br />Relleno módulo-2
|align=center|[[File:Great dirhombicosidodecahedron interior.png|300px]]<br />Vista interior del relleno módulo-2 
|}

==Referencias==
{{listaref}}

==Bibliografía==
* {{Citation|last1=Coxeter|first1=Harold Scott MacDonald|author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter|last2=Longuet-Higgins|first2=M. S.|last3=Miller|first3=J. C. P.|title=Uniform polyhedra|jstor=91532|mr=0062446|year=1954|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences|issn=0080-4614|volume=246|issue=916|pages=401–450|doi=10.1098/rsta.1954.0003|bibcode=1954RSPTA.246..401C|s2cid=202575183 }}
* {{cite book|first=Magnus|last=Wenninger|authorlink=Magnus Wenninger|title=Polyhedron Models|publisher=Cambridge University Press|year=1974|isbn=0-521-09859-9|oclc=1738087 }}
* Har'El, Z. [https://www.math.technion.ac.il/~rl/docs/uniform.pdf ''Solución uniforme para poliedros uniformes''], Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. [https://www.math.technion.ac.il/~rl Zvi Har'El], [https://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido Kaleido software], [https://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido/poly.html Imágenes], [https://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido/dual.html imágenes duales]
* {{KlitzingPolytopes|polyhedra-neu.htm|3D|uniform polyhedra}}
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly Mäder, R. E.] ''[http://library.wolfram.com/infocenter/Articles/2254 Poliedros uniformes.]'' [[Mathematica]] J. 3, 48- 57, 1993.

==Enlaces externos==
* {{mathworld|urlname= GreatDirhombicosidodecahedron|title=Great dirhombicosidodecahedron}}
* http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/75.html
* http://www.software3d.com/MillersMonster.php

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Poliedros uniformes]]