Función suma de cuadrados
La función suma de cuadrados es una función aritmética que dado un número entero positivo n, proporciona el número de representaciones de este como suma de k cuadrados, donde las representaciones que únicamente se diferencian en el orden de sumandos o los signos de las raíces cuadradas se cuentan como diferentes, y se denota por rk(n).
Definición
[editar]La función se define como
donde |.| denota la cardinalidad del conjunto. En otras palabras, rk(n) es el número de veces que n puede escribirse como suma de k cuadrados.
Casos particulares
[editar]El número de veces que puede escribirse un número natural como suma de dos cuadrados está dado por r2(n). Puede ser proporcionado explícitamente como
donde d1(n) es el número de divisores de n que son congruentes con 1 módulo 4 y d3(n) es el número de divisores de n que son congruentes con 3 módulo 4. Usando sumas, la expresión se puede escribir como:
El número de veces que se puede representar n como la suma de cuatro cuadrados fue dado por Carl Gustav Jakob Jacobi y es ocho veces la suma de todos sus divisores que no son divisibles por 4, i.e.
Jacobi también encontró una fórmula explícita para el caso k=8:
La función generadora que proporciona los coeficientes de la forma general está basada en términos de la función theta de Jacobi:[1]
donde
Véase también
[editar]Referencias
[editar]- ↑ Milne, Stephen C. (2002). «Introduction». Infinite Families of Exact Sums of Squares Formulas, Jacobi Elliptic Functions, Continued Fractions, and Schur Functions. Springer Science & Business Media. p. 9. ISBN 1402004915.
Enlaces externos
[editar]- Weisstein, Eric W. «Sum of Squares Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.