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Función de Dawson

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La función de Dawson, , alrededor del origen

En matemáticas, la función de Dawson o integral de Dawson (llamada así por H. G. Dawson[1]​) es la transformada del seno de un lado de Fourier-Laplace, de la función gaussiana.

Definición

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La función de Dawson puede definirse como

,

también denotada por F(x) o D(x), o alternativamente como

.

La función de Dawson es la transformada del seno de Fourier-Laplace de un solo lado, de la función gaussiana,

Está estrechamente relacionada con la función error erf, mediante

donde erfi es la función error imaginaria, erfi(x) = −i erf(ix).[2]​ Similarmente,

en términos de la función error real, erf.

En términos tanto de erfi como de la función de Faddeeva w(z), la función de Dawson se puede extender al plano complejo completo:[3]

lo que se simplifica a:

para x real.

Para |x| cercano a cero, 1 = F(x) ≈ x.
Para |x| grande, 1 = F(x) ≈ 1/(2x).
Más específicamente, cerca del origen tiene la expansión por series

mientras que para x grandes tiene la expansión asintótica

donde n!! es el doble factorial de n.

F(x) satisface la ecuación diferencial

de condición inicial F(0) = 0. Consecuentemente, tiene extremos para

lo que resulta en x = ±0.92413887… (A133841), F(x) = ±0.54104422… (A133842).

Los puntos de inflexión siguen para

lo que resulta en x = ±1.50197526… (A133843), F(x) = ±0.42768661… (A245262). (Aparte del punto de inflexión trivial en x = 0, F(x) = 0).

Relación con la transformada de Hilbert del gaussiano

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La transformada de Hilbert del gaussiano se define como:

P.V. denota el valor principal de Cauchy, y nos restringimos a real. se puede relacionar a la función de Dawson de la siguiente forma: Dentro de una integral de valor principal, podemos tratar a como una función generalizada o distribución, y usamos la representación de Fourier

.

Con , usamos la representación exponencial de y completamos cuadrado con respecto a para hallar

.

Podemos cambiar la integral de al eje real, y nos da . Luego

.

Completando cuadrado respecto a se obtiene

.

Cambiamos de variable :

.

La integral se puede hacer como una integral de contorno alrededor de un rectángulo en el plano complejo. Tomando la parte imaginaria del resultado, resulta

donde es la función de Dawson definida arriba.

La transformada de Hilbert de también está relacionada con la función de Dawson. Puede verse con la técnica de diferenciar dentro del signo de integración. Sea

se introduce

.

La derivada número n es

Por tanto, se halla que

Primero se realizan las derivadas, luego el resultado evaluado en . Un cambio de variable también da que . Como , se puede escribir donde y son polinomios. Por ejemplo, . En forma alternativa, se puede calcular usando la relación de recurrencia (para )

.

Referencias

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  1. Dawson, H. G. (1897). «On the Numerical Value of ». Proceedings of the London Mathematical Society. s1-29 (1): 519-522. doi:10.1112/plms/s1-29.1.519. 
  2. Weisstein, Eric W. «Erfi». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 14 de enero de 2021. 
  3. Mofreh R. Zaghloul y Ahmed N. Ali, Algorithm 916: Computing the Faddeyeva and Voigt Functions, ACM Trans. Math. Soft. 38 (2), 15 (2011). Preimpresión disponible en arXiv:1106.0151.

Enlaces externos

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