Función zeta de Ihara

La función zeta de Ihara tiene similitudes con la función zeta de Selberg, y es utilizada para relacionar el espectro de la matriz de adyacencia de un gráfico $G$ a su característica de Euler.

Definición

La función zeta de Ihara fue inicialmente definida por una fórmula análoga al producto de Euler para la función zeta de Riemann:

\zeta _{G}(u)^{-1}=\prod _{\mathrm {primos\ p} }(1-u^{d_{p}})

Este producto se realiza sobre todos los pasos primos p del gráfico G, y $d_{p}$ es la longitud del paso primo p.

Posteriormente fue demostrado que esta función zeta es en realidad siempre la recíproca de un polinomio, y que una fórmula para esta función zeta es

\zeta _{G}(u)={\frac {1}{\det(I-Tu)}}

donde T es el operador de borde de adyacencia de Hashimoto.

La función zeta de Ihara desempeña un rol importante en el estudio de los grupos libres, teoría gráfica espectral, y sistemas dinámicos, especialmente dinámica simbólica.

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