Función simétrica monomial

Las funciones simétricas monomiales son una clase especial de funciones simétricas que forman la base más simple del espacio vectorial de funciones simétricas.

Definición

Si $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})$ es una partición, se construye el monomio

$x^{\lambda }=x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}\cdots x_{n}^{\lambda _{n}}$.

La suma de tales monomios sobre todas las permutaciones distintas de $\lambda$, da como resultado un polinomio simétrico denotado $m_{\lambda }\,$.

(Función simétrica monomial) La función simétrica monomial asociada a la partición $\lambda \vdash n$ es la suma $m_{\lambda }=\sum _{\sigma }x^{\sigma }\,$, donde $\sigma$ recorre todas las permutaciones distintas de $\lambda$.

Ejemplos

Las funciones simétricas monomiales en cuatro variables para las particiones más pequeñas son:

• $m_{\emptyset }=1$.
• $m_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\,$.
• $m_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}$.
• $m_{11}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}\,$.
• $m_{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}$.
• $m_{21}=x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}^{1}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{3}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{4}+x_{4}^{2}x_{1}+x_{2}^{2}x_{3}+x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{4}+x_{4}^{2}x_{2}+x_{3}^{2}x_{4}+x_{4}^{2}x_{3}$.

Obsérvese que en $m_{11}$ sólo aparece $x_{1}x_{3}$ y no $x_{3}x_{1}$, porque ambas corresponden a la misma permutación $(1010)$ de la partición $(1100)$. En particular, se consideran todas las particiones de un entero $n$ como si tuvieran $n$ partes, añadiendo entradas cero de ser necesario.

Propiedades

Cualquier función simétrica en n variables

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{\sigma }x^{\sigma }$

puede reescribirse en términos de funciones simétricas monomiales como

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{\lambda }m_{\lambda }$,

por lo que el conjunto de funciones simétricas monomiales indizadas por las particiones de n

$\{m_{\lambda }:\lambda \vdash n\}$

forma una base del espacio vectorial $\Lambda _{n}$ de funciones simétricas en n variables.

Una consecuencia de la relación anterior es el siguiente teorema.

La dimensión del espacio vectorial $\Lambda _{n}$ sobre $\mathbb {Q}$ de funciones simétricas en n variables es igual al número $p(n)$ de particiones del entero n, y el conjunto de funciones simétricas monomiales es una base de dicho espacio vectorial.

• Datos: Q2876002