Función psi de Dedekind

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En teoría de números, la función psi de Dedekind es la función multiplicativa sobre los enteros positivos definida por

donde el producto es tomado sobre todos los números primos p que dividen a n (por convención, ψ(1) es el producto vacío y tiene el valor 1). La función fue introducida por Richard Dedekind en conexión con las funciones modulares.

El valor de ψ(n) para los primeros enteros n es:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... (sucesión A001615 en OEIS).

ψ(n) es mayor que n para todo n mayor que 1, y es par para todo n mayor que 2. Si n es un Entero libre de cuadrados entonces ψ(n) = σ(n).

La función ψ puede también ser definida mediante la propiedad ψ(pn) = (p+1)pn-1 para potencias de cualquier primo p, y luego extender la definición a todos los enteros por multiplicabilidad. Esto también permite una demostración de la función generadora en términos de la función zeta de Riemann, que es

Esto también es una consecuencia del hecho de que se puede escribir como una convolución de Dirichlet , donde es la función característica de los cuadrados.

Grandes órdenes[editar]

La generalización a grandes órdenes usando ratios de indicatrices de Jordan es

donde la serie de Dirichlet

.

Es también la convolución de Dirichlet de una potencia y el cuadrado de la función de Möbius,

.

Si

es la función característica de los cuadrados, otra convolución de Dirichlet permite la generalización de la función σ,

.

Referencias[editar]

  • Goro Shimura (1971). Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions (en inglés). Princeton.  (page 25, equation (1))
  • Carella, N. A. (2010). «Squarefree Integers And Extreme Values Of Some Arithmetic Functions» (en inglés). arXiv:1012.4817

. 

  • Mathar, Richard J. (2011). «Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions» (en inglés). arXiv:1106.4038

.  Section 3.13.2

Enlaces externos[editar]