Función de von Mangoldt

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En matemática, la Función de Von Mangoldt es una función aritmética, muy importante en teoría de números, que debe su nombre al matemático alemán Hans von Mangoldt.

Definición[editar]

La función de von Mangoldt, normalmente escrita como Λ(n), está definida de la siguiente manera:

Esta función es un ejemplo importante de función aritmética que no es ni multiplicativa ni aditiva.

La función de von Mangoldt cumple la siguiente identidad:[1]

que es, la suma de todos los enteros d que dividen a n. Esto se puede demostrar mediante el teorema fundamental de la aritmética, Puesto que los términos que no son potencias de números primos son igual a 0.

La función de Chebyshov, o función sumatorio de von Mangoldt , ψ(x), está definida en términos de la función de von Mangoldt como:

von Mangoldt dio una demostración rigurosa de una fórmula explícita para ψ(x), utilizando una suma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann.[2] Este fue un importante paso para la primera prueba del teorema de los números primos.

Ejemplo[editar]

Para el ejemplo, sea n=12.

  • Se obtieme la descomposición en factores primos de 12, 12=22·3, necesaria para el ejemplo.
  • Tomando la suma de todos los divisores d posibles de n:
con lo que se muestra que la suma sobre la función de von Mangoldt es igual a log (n).

Relaciones[editar]

Series de Dirichlet[editar]

La función de von Mangoldt juega un importante rol en la teoría de series de Dirichlet, sobre todo, con la función zeta de Riemann. En particular, se muestra que

para . La derivada logarítmica es entonces:

Éstos son casos especiales de una más general relación con las series de Dirichlet.[1] Si uno define una función como:

para una función completamente multiplicativa f(n), y la serie converge para todo , entonces

y converge para .

Transformada de Mellin[editar]

La transformada de Mellin de la función de Chebyshov puede ser obtenida aplicando la fórmula de Perron:

la cual se cumple para .

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3. 
  2. Stopple, Jeffrey (2008). «Riemann's explicit formula & music of the primes.». Consultado el 17 de mayo de 2010. 

Enlaces externos[editar]