Función contador de números primos

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Los 60 primeros valores de π(n).

En matemática, la función contador de números primos es una función que cuenta el número de números primos menores o iguales a cierto número real x. Se denota mediante \scriptstyle\pi(x) (no debe confundirse con el número π) y analíticamente se define como:

\pi (x) = \# \{p \in \mathbb{P} \mid p \le x\}

donde # significa la cantidad de números que cumplen la condición. Algunos valores son:

π(1) = 0 (no hay primos ≤ 1)
π(2) = 1 (único primo ≤ 2: 2)
π(3) = 2 (primos ≤ 3: 2 y 3)
π(4) = 2 (id.)
π(5) = 3 (primos ≤ 5: 2, 3 y 5)
...
π(10) = 4 (primos ≤ 10: 2, 3, 5 y 7)
...

Teorema de los números primos[editar]

Una de las consecuencias más importantes de la teoría de números es que el valor de π(x) se aproxima al de x/ln x cuando x tiende al infinito. Es decir:

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}

Esto no significa que la diferencia entre π(x) y x/ln x se aproxime a cero, sino que su cociente se aproxima a 1. Este resultado, aventurado por primera vez por Carl Friedrich Gauss, se denomina teorema de los números primos. Tras muchos intentos fallidos de demostración, los matemáticos Jacques Hadamard y Charles de la Vallée-Poussin consiguieron, de forma independiente, una demostración definitiva.

Si se expresa la relación anterior cómo

\frac{\pi(x)}{x}\sim\frac{1}{\ln x}

se puede interpretar como que la densidad media de números primos entre los números enteros se aproxima a 1/lnx a medida que x aumenta.

25 años después de que Gauss descubriera la aproximación Legendre lo mejoró aún más:

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x - 1.08366}

Referencias[editar]