Fracción continua de Rogers-Ramanujan

La fracción continua de Rogers–Ramanujan es una fracción continua descubierta por Rogers (1894) y más tarde estudiada por Srinivasa Ramanujan, íntimamente relacionada con las identidades de Rogers-Ramanujan, que puede ser evaluada explícitamente para determinados valores de su argumento.

Definición

La fracción continua de Ramanujan es

$1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}={\frac {G(q)}{H(q)}}=1+q-q^{3}+q^{5}-\cdots$ (sucesión A003823 en OEIS)

donde:

G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots

(sucesión A003114 en OEIS)

y

H(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots .

(sucesión A003106 en OEIS)

son funciones que aparecen en las identidades de Rogers-Ramanujan.

Aquí, $(a;q)_{\infty }$ denota el símbolo q-Pochhammer para el caso infinito.

Formas modulares

Si q = e^2πiτ, entonces q^−1/60G(q) y q^11/60H(q) y también q^1/5H(q)/G(q)) son formas modulares de τ. Puesto que éstas tienen coeficientes enteros, la teoría de la multiplicación compleja implica que sus valores para τ siendo un número imaginario cuadrático irracional son números algebraicos que pueden ser evaluados explícitamente. En particular, la fracción continua de Ramanujan se pueden evaluar para estos valores de τ.

Ejemplos

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+\dots }}}}}}=\left({{\sqrt {5+{\sqrt {5}} \over 2}}-{{\sqrt {5}}+1 \over 2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi }\right)=0.9981360\dots

donde $\varphi$ es el número áureo (Aproximadamente 1.618)

El inverso multiplicativo de esta expresión es:

${\begin{aligned}&{}\quad 1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\dots }}}}}}={\frac {1}{2}}\left[1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,e^{-2\pi /5}\\\\&={\frac {e^{-2\pi /5}}{{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi }}=1.0018674\dots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{}\quad {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\dots }}}}}}\\\\&=\left({\frac {\sqrt {5}}{1+[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1]^{1/5}}}-{\varphi }\right)\,e^{2\pi /{\sqrt {5}}}=0.99999920\dots \end{aligned}}$

El inverso multiplicativo de esta expresión es:

${\begin{aligned}&{}\quad 1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\dots }}}}\\\\&={\cfrac {e^{-2\pi /{\sqrt {5}}}}{{}\ \ {\cfrac {\sqrt {5}}{1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}}-\varphi \ \ {}}}=1.000000791267\dots \end{aligned}}$

Referencias

Rogers, L. J. (1894), «Second Memoir on the Expansion of certain Infinite Products», Proc. London Math. Soc., s1-25: 318-343, doi:10.1112/plms/s1-25.1.318 .
Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan,, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum Sohn, Seung Hwan Son, The Rogers-Ramanujan Continued Fraction, J. Comput. Appl. Math. 105 (1999), pp. 9–24.