Línea 16:
Línea 16:
:<math> \mbox{sn}\ u = x = F_k^{-1}(u)</math>
:<math> \mbox{sn}\ u = x = F_k^{-1}(u)</math>
</br>
</br>
Las otras dos funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta por las relaciones siguientes:</br>
Las otras dos funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta por las relaciones siguientes:
{{ecuación|
</br>
:<math> \mbox{cn}\ u = \sqrt{1- \mbox{sn}^2 u}= \sqrt{1-x^2} \qquad
<math>\begin{cases} \mbox{cn}\ u = \sqrt{1- \mbox{sn}^2 u}= \sqrt{1-x^2} \\
\mbox{dn}\ u = \sqrt{1-k^2 \mbox{sn}^2 u} = \sqrt{1-k^2x^2}</math>
\mbox{dn}\ u = \sqrt{1-k^2 \mbox{sn}^2 u} = \sqrt{1-k^2x^2} \end{cases }</math>
||left}}
</br>
==Propiedades==
==Propiedades==
Las funciones elípticas de Jacobi son funciones definidas a partir de la integral elíptica de primera especie y aparecen en diversos contextos, deben su nombre al matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi .
En física aparecen por ejemplo las oscilaciones de un péndulo con grandes amplitudes sometido a la gravedad, o el movimiento de una peonza asimétrica .
Definición
Funciones elípticas de Jacobi snk (x ), para diferentes valores del parámetro (línea roja: k = 0,05; línea verde: k = 1,05).
Funciones elípticas de Jacobi cnk (x ), para diferentes valores del parámetro (línea roja: k = 0,05; línea verde: k = 1,05).
Funciones elípticas de Jacobi dnk (x ), para diferentes valores del parámetro (línea roja: k = 0,25; línea verde: k = 1,05).
Consideremos la integral elíptica incompleta de primera especie definida como:
u
=
F
k
(
x
)
=
∫
0
x
d
v
(
1
−
v
2
)
(
1
−
k
2
v
2
)
{\displaystyle u=F_{k}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dv}{\sqrt {(1-v^{2})(1-k^{2}v^{2})}}}}
La inversa de esta función es la primera de las tres funciones elípticas de Jacobi:
sn
u
=
x
=
F
k
−
1
(
u
)
{\displaystyle {\mbox{sn}}\ u=x=F_{k}^{-1}(u)}
Las otras dos funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta por las relaciones siguientes:
{
cn
u
=
1
−
sn
2
u
=
1
−
x
2
dn
u
=
1
−
k
2
sn
2
u
=
1
−
k
2
x
2
{\displaystyle {\begin{cases}{\mbox{cn}}\ u={\sqrt {1-{\mbox{sn}}^{2}u}}={\sqrt {1-x^{2}}}\\{\mbox{dn}}\ u={\sqrt {1-k^{2}{\mbox{sn}}^{2}u}}={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}\end{cases}}}
Propiedades
En primer lugar las funciones elípticas satisfacen un conjunto de de identidades análogo al que satisfacen las funciones trigonométricas:
cn
2
u
+
sn
2
u
=
1
dn
2
u
+
k
2
sn
2
u
=
1
dn
2
u
−
k
2
cn
2
u
=
1
−
k
2
{\displaystyle {\mbox{cn}}^{2}u+{\mbox{sn}}^{2}u=1\;\qquad {\mbox{dn}}^{2}u+k^{2}{\mbox{sn}}^{2}u=1\qquad {\mbox{dn}}^{2}u-k^{2}{\mbox{cn}}^{2}u=1-k^{2}}
En cuanto a los valores particulares se tiene que para u = 0 las funciones valen:
cn
(
0
)
=
1
sn
(
0
)
=
0
dn
(
0
)
=
1
{\displaystyle {\mbox{cn}}(0)=1\qquad {\mbox{sn}}(0)=0\qquad {\mbox{dn}}(0)=1\;}
Las funciones elípticas pueden considerarse una generalización de las funciones trigonométricas de hecho cuando k tiende a cero las funciones elípticas de Jacobi se reducen a las funciones trigonométricas convencionales:
lim
k
→
0
sn
u
=
sin
u
lim
k
→
0
cn
u
=
cos
u
lim
k
→
0
dn
u
=
1
{\displaystyle \lim _{k\to 0}\ {\mbox{sn}}\ u=\sin u\qquad \lim _{k\to 0}\ {\mbox{cn}}\ u=\cos u\qquad \lim _{k\to 0}\ {\mbox{dn}}\ u=1}
Las respectivas series de Taylor vienen dadas por:
sn
u
=
u
−
(
1
+
k
2
)
u
3
3
!
+
(
1
+
14
k
2
+
k
4
)
u
5
5
!
−
(
1
+
135
k
2
+
135
k
4
+
k
6
)
u
7
7
!
+
…
{\displaystyle {\mbox{sn}}\ u=u-(1+k^{2}){\frac {u^{3}}{3!}}+(1+14k^{2}+k^{4}){\frac {u^{5}}{5!}}-(1+135k^{2}+135k^{4}+k^{6}){\frac {u^{7}}{7!}}+\dots }
cn
u
=
1
−
u
2
2
!
+
(
1
+
k
2
)
u
4
4
!
−
(
1
+
44
k
2
+
16
k
4
)
u
6
6
!
+
…
{\displaystyle {\mbox{cn}}\ u=1-{\frac {u^{2}}{2!}}+(1+k^{2}){\frac {u^{4}}{4!}}-(1+44k^{2}+16k^{4}){\frac {u^{6}}{6!}}+\dots }
dn
u
=
1
−
k
2
u
2
2
!
+
k
2
(
4
+
k
2
)
u
4
4
!
−
k
2
(
16
+
44
k
2
+
k
4
)
u
7
7
!
+
…
{\displaystyle {\mbox{dn}}\ u=1-k^{2}{\frac {u^{2}}{2!}}+k^{2}(4+k^{2}){\frac {u^{4}}{4!}}-k^{2}(16+44k^{2}+k^{4}){\frac {u^{7}}{7!}}+\dots }
Fórmulas de adición
Análogamente a las fórmulas de adición de ángulos para las fórmulas trigonométricas, para la funciones elípticas de Jacobi pueden establecerse las siguientes relaciones:
sn
(
u
+
v
)
=
sn
u
cn
v
dn
v
+
cn
u
sn
v
dn
u
1
−
k
2
sn
2
u
sn
2
v
{\displaystyle {\mbox{sn}}(u+v)={\frac {{\mbox{sn}}\ u\ {\mbox{cn}}\ v\ {\mbox{dn}}\ v\ +{\mbox{cn}}\ u\ {\mbox{sn}}\ v\ {\mbox{dn}}\ u}{1-k^{2}{\mbox{sn}}^{2}u\ {\mbox{sn}}^{2}v}}}
cn
(
u
+
v
)
=
cn
u
cn
v
−
sn
u
sn
v
dn
u
dn
v
1
−
k
2
sn
2
u
sn
2
v
{\displaystyle {\mbox{cn}}(u+v)={\frac {{\mbox{cn}}\ u\ {\mbox{cn}}\ v\ -{\mbox{sn}}\ u\ {\mbox{sn}}\ v\ {\mbox{dn}}\ u\ {\mbox{dn}}\ v}{1-k^{2}{\mbox{sn}}^{2}u\ {\mbox{sn}}^{2}v}}}
dn
(
u
+
v
)
=
dn
u
dn
v
−
k
2
sn
u
sn
v
cn
u
cn
v
1
−
k
2
sn
2
u
sn
2
v
{\displaystyle {\mbox{dn}}(u+v)={\frac {{\mbox{dn}}\ u\ {\mbox{dn}}\ v\ -k^{2}{\mbox{sn}}\ u\ {\mbox{sn}}\ v\ {\mbox{cn}}\ u\ {\mbox{cn}}\ v}{1-k^{2}{\mbox{sn}}^{2}u\ {\mbox{sn}}^{2}v}}}
Funciones elípticas de Jacobi secundarias
A partir de los cocientes de las funciones de Jacobi anteriormente definidas es común definir otras funciones derivadas. En primer lugar se definen las funciones recíprocas:
ns
u
=
1
sn
u
nc
u
=
1
cn
u
nd
u
=
1
dn
u
{\displaystyle {\mbox{ns}}\ u={\frac {1}{{\mbox{sn}}\ u}}\qquad {\mbox{nc}}\ u={\frac {1}{{\mbox{cn}}\ u}}\qquad {\mbox{nd}}\ u={\frac {1}{{\mbox{dn}}\ u}}}
En segundo lugar los cocientes:
sc
u
=
sn
u
cn
u
sd
u
=
sn
u
dn
u
cd
u
=
cn
u
dn
u
{\displaystyle {\mbox{sc}}\ u={\frac {{\mbox{sn}}\ u}{{\mbox{cn}}\ u}}\qquad {\mbox{sd}}\ u={\frac {{\mbox{sn}}\ u}{{\mbox{dn}}\ u}}\qquad {\mbox{cd}}\ u={\frac {{\mbox{cn}}\ u}{{\mbox{dn}}\ u}}}
Junto con sus respectivas funcione recíprocas:
cs
u
=
cn
u
sn
u
ds
u
=
dn
u
sn
u
dc
u
=
dn
u
cn
u
{\displaystyle {\mbox{cs}}\ u={\frac {{\mbox{cn}}\ u}{{\mbox{sn}}\ u}}\qquad {\mbox{ds}}\ u={\frac {{\mbox{dn}}\ u}{{\mbox{sn}}\ u}}\qquad {\mbox{dc}}\ u={\frac {{\mbox{dn}}\ u}{{\mbox{cn}}\ u}}}
Existen así un total de 12 funciones elípticas de Jacobi.
Referencia
Enlaces externos