Espacio de Fréchet

Un espacio de Fréchet es una estructura de espacio vectorial topológico que satisface ciertas propiedades de los espacios de Banach aun en ausencia de norma. Este concepto hace referencia a Maurice Fréchet, un matemático francés que contribuyó notablemente a fundar las bases de la topología y a estudiar sus aplicaciones en análisis funcional. Es en este último campo donde la estructura de los espacios de Fréchet revela su utilidad, en particular a la hora de proporcionar una topología natural a los espacios de funciones infinitamente derivables.

Definición

Un espacio de Fréchet es un espacio vectorial topológico real, completo en el sentido de los espacios uniformes, y que satisface alguna de las dos siguientes condiciones equivalentes: el espacio es localmente convexo y metrizable por una distancia invariante por traslaciones; existe una familia numerable y separada de continuas que engendra la topología del espacio.

La equivalencia de estas dos condiciones se muestra a partir de la construcción de una familia numerable y separada de seminormas a partir de una distancia invariante arbitraria y recíprocamente. Sin embargo, no hay una biyección natural entre las distancias invariantes compatibles y las familias numerables y separadas de seminormas.

Para un espacio de Fréchet dado, en general existen varias distancias invariantes que definen la topología y que inducen una estructura de espacio métrico completo. Del mismo modo, no hay una elección canónica de familia de seminormas.

Ejemplos

Todo espacio de Banach es un espacio de Fréchet pero el recíproco no siempre es cierto. En particular, algunos espacios de Fréchet no son normables.

Es el caso del espacio C^∞([0,1]) de funciones infinitamente diferenciables en el intervalo [0,1], que puede estar provisto de seminormas para cualquier entero k ≥ 0 :

$\|f\|_{k}=\sup _{x\in [0;1]}\left|f^{(k)}(x)\right|$

donde f ⁽⁰⁾ = f y para todo k > 0, f ^(k) es la k-ésima derivada de f.
En este espacio, una sucesión (f_n) de funciones converge a la función $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }([0;1])$ si y sólo si para todo k≥0, la sucesión (f_n^(k)) converge uniformemente a f ^(k).

De forma más general, si M es una variedad compacta lisa y B un espacio de Banach, entonces el espacio de funciones infinitamente diferenciables de M en B puede tener una estructura de espacio de Fréchet gracias a las seminormas definidas por las normas infinito de las derivadas parciales.

El conjunto de funciones continuas de un espacio topológico σ-compacto X en un espacio de Banach puede estar provisto de seminormas definidas por las normas infinito sobre compactos que recubren el espacio X. La topología obtenida se identifica entonces con la topología compacto-abierta de los espacios de funciones. Así, el espacio de las aplicaciones continuas de ℝ en ℝ es un espacio de Fréchet.