Espacio T1

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Ir a la navegación Ir a la búsqueda

En topología un espacio T1 o de Fréchet es un caso particular de espacio topológico.

Definición[editar]

Un espacio topológico es si para cada pareja de elementos distintos e de existe un abierto que contiene a y no a y un abierto que contiene a y no a . Notar que no es necesario que estos dos abiertos sean disjuntos (si esto ocurriera para todo e , sería un espacio de Hausdorff o ).

Propiedades[editar]

Sea un espacio topológico. Son equivalentes:

  • es un espacio .
  • es un espacio y un espacio .
  • Para cada de , es cerrado.
  • Todo conjunto de un único punto es la intersección de sus entornos.
  • Todo subconjunto de es la intersección de sus entornos.
  • Todo suconjunto finito de es cerrado.
  • Todo subconjunto cofinito de es abierto.
  • El ultrafiltro principal de converge solamente a .
  • Para cada punto de y todo subcojunto de , es un punto límite de si y sólo sí es un punto de acumulación de .

Nota y casos[editar]

  • Sea (ℕ, T) donde Tx = {A ⊂ ℕ; x ∈ A y ℕ - A es finito}. Entonces T es una estructura topológica sobre ℕ, llamada estructura topológica cofinita que es T1 pero no T2.[1]
  • Cualquier espacio T1 finito es un espacio topológico discreto.[2]
  • Sea X = {a, b, c} y la topología que consiste de los siguientes subconjuntos de X: ∅, {b}, {a, b}, {b, c}, X este espacio topológico no es T1. Pues {b} no es cerrado

Teorema[editar]

Un espacio topológico es T1 si y sólo si cada punto es un conjunto cerrado.[2]

Ejemplos[editar]

  • La topología cofinita sobre un conjunto infinito es T1 pero no T2.
  • El espacio topológico de Sierpinski es T0 pero no es T1.

Referencias[editar]

  1. Ayala y otros: "Elementos de topología general" ISBN 84-7829-006-0
  2. a b Simmons: Introduction to Topology and Modern Analysis

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]