Número ordinal (teoría de conjuntos)

En teoría de conjuntos, un número ordinal, o simplemente ordinal, es un representante del tipo de orden de un conjunto bien ordenado. De este modo, los ordinales clasifican todos los posibles conjuntos bien ordenados. Fueron introducidos por Georg Cantor en 1897.

Los ordinales finitos (así como los cardinales finitos) son los números naturales 0, 1, 2,..., puesto que dos órdenes totales de un conjunto finito son isomorfos en cuanto al orden. Al primer ordinal infinito se le denota ω.

En el caso infinito, los ordinales ofrecen una distición más fina que los cardinales, que sólo representan la cantidad de elementos. Así, mientras sólo existe un cardinal infinito numerable ℵ₀, existen infinitos ordinales infinitos y numerables:

$\omega ,\omega +1,\dots ,2\omega ,2\omega +1,\ldots ,\omega ^{2},\ldots ,\omega ^{\omega },\ldots ,\omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots ,\epsilon _{0},\ldots$

que se corresponden con distintas maneras de ordenar el conjunto de los números naturales.

Definición

Conjuntos bien ordenados

Un conjunto bien ordenado es un conjunto con una relación de orden entre sus elementos que verifica que dada cualquier subcolección de elementos no vacía, ésta posee un elemento mínimo. La importancia de los conjuntos bien ordenados reside en la inducción transfinita, que afirma que en un conjunto A de estas características, las propiedades que un elemento hereda de sus predecesores son poseidas por la totalidad de los elementos de A.

Un ordinal es un objeto matemático que clasifica todos los distintos conjuntos bien ordenados posibles. Por supuesto, ha de evitarse la posibilidad de clasificar con ordinales diferentes dos conjuntos bien ordenados distintos que en el fondo constituyan un "reetiquetado" el uno del otro.

Ejemplo

Los siguientes conjuntos, con el orden en el que están escritos los elementos, no representan maneras esencialmente distintas de ordenar los números naturales (sobreentendiendo que la serie sigue con normalidad tras los puntos suspensivos) ${\begin{aligned}&\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\ldots \}\\&\{5,0,3,4,2,1,6,7,8,9,10,\ldots \}\end{aligned}}$ El único cambio es que el primer elemento se llama "0" en uno y "5" en otro, el segundo se llama "1" en uno y "0" en otro,etc. Sin embargo, si ordenamos los números naturales de la siguiente forma: ${\begin{aligned}&\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\ldots \}\\&\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\ldots ,0\}\end{aligned}}$ esto sí representa un cambio radical, puesto que hay un hecho relacionado con el orden de los conjuntos totalmente distinto en un caso y en otro: el segundo conjunto, a diferencia del primero, posee un elemento maximal.

Clases de equivalencia

Una posible definición para clasificar todos los tipos de orden posible es agrupar a todos los conjuntos bien ordenados isomorfos bajo orden en una clase de equivalencia. Este es el enfoque que se tomó en los Principia Mathematica. Está definición ha de ser abandonada en ZF y demás sistemas axiomáticos relacionados, puesto que dichas clases de equivalencia son demasiado grandes para formar un conjunto.

Definición de Von Neumann

En lugar de definirlo como una clase de equivalencia, el procedimiento más habitual clasificar los buenos órdenes es escoger un representante canónico, de manera unívoca, en cada una de estas clases. La definición estándar, sugerida por John Von Neumann es:

Un conjunto α es un ordinal si y sólo si está estrictamente bien ordenado por la relación de pertenencia y cada elemento de α es también un subconjunto del mismo.

La construcción estándar de los números naturales en teoría de conjuntos asegura que estos son ordinales. En esta construcción se define el cero como el conjunto vacío 0≡∅={}, y a partir de ahí, cada número se define como el conjunto que contiene a los anteriores: 1≡{0}, 2≡{0,1}, etc.

De la definición dada por Von Neumann puede probarse:

Los elementos de un ordinal son ordinales también. De hecho, un ordinal es el conjunto de todos los ordinales menores que él. La colección de todos los ordinales Ω está bien ordenada a su vez, por la relación de pertencia/inclusión, esto es, cualquier conjunto de ordinales está bien ordenado. Esta colección Ω no es un conjunto. Todo conjunto bien ordenado es isomorfo bajo orden a un único ordinal. El conjunto de los números naturales ω = {0, 1, 2, ...} es un ordinal (el primer ordinal infinito y límite, ver más abajo).

Al (único) ordinal isomorfo a un conjunto bien ordenado A se le denota por A ó ord(A). Puede demostrarse que si α es un ordinal, también lo es α′≡α∪{α}. Este es el llamado ordinal siguiente a α, y es el menor ordinal mayor que α. Los ordinales diferentes de cero se dividen en dos clases bien diferenciadas:

Un ordinal sucesor α es un ordinal que es el siguiente de algún otro ordinal, α=β′. Un ordinal límite λ es un ordinal no nulo que no es el ordinal siguiente a ningún otro ordinal.

Por ejemplo, todos los números naturales mayores que cero, n = {0, 1, 2, ..., n-1}, son ordinales sucesores. El ordinal de los números naturales ω es un ordinal límite (el primero de ellos).

Inducción transfinita

Los números ordinales poseen una propiedad similar al principio de inducción de los números naturales. Es el llamado principio de inducción transfinita:

Dada una fórmula φ(α), si se cumple: φ(0) es cierta, φ(α′) es cierta siempre que lo es φ(α), φ(λ) es cierta siempre que φ(γ) lo sea para todos los γ<λ, entonces la fórmula es cierta para cualquier ordinal.

donde λ se refiere a un ordinal límite.

Una aplicación importante de este principio es la recursión transfinita, que permite definir funciones de ordinales:

Sean X un conjunto y G y H funciones definidas sobre los conjuntos. Entonces existe una única función definida sobre los ordinales F, tal que: F(0)=X F(α′)=G(F(α)) F(λ)=H(F|λ)

donde F|_λ es la restricción de F en λ.

Aritmética ordinal

Pueden definirse unas operaciones de suma, multiplicación y exponenciación de ordinales de manera natural.

Suma

En la suma de dos ordinales α y β, se considera el conjunto dado por la totalidad de los elementos de ambos, ordenado de forma que todos los elementos de β son mayores que todos los elementos de α. Este conjunto está bien ordenado, y su ordinal correspondiente es α+β. De manera más técnica:

$\alpha +\beta ={\overline {\alpha \times \{0\}\cup \beta \times \{1\}}}$ ,

donde se considera el orden dado por

$(\gamma ,n)<(\delta ,m)\Leftrightarrow {\acute {\text{O}}}{\text{ bien }}n<m{\text{, }}{\acute {\text{o}}}{\text{ bien }}n=m{\text{ y }}\gamma <\delta$

Cabe destacar que esta suma ordinal es asociativa y con elemento neutro (α+0=0+α=α), pero no es conmutativa. Por ejemplo 1+ω=ω≠ω+1.

Demostración

En efecto, el ordinal 1+ω es el isomorfo al conjunto $\{0',0,1,2,3,\ldots \}$ donde se ha añadido un único elemento, menor que todos los demás. Es obvio que este conjunto no es más que un "cambio de nombre" de los elementos de ω. Sin embargo, en ω+1, estamos considerando el ordinal isomorfo a $\{0,1,2,3,\ldots ,0'\}$ donde el nuevo elemento que se añade es mayor que el resto, y en ω no hay elemento maximal.

Representación visual de ω², "omega copias de omega". Cada línea vertical es un ordinal de la forma ω·m+n, es decir, el elemento n-ésimo de la "copia" m-ésima de ω.

Producto

De igual modo, para el producto de dos ordinales α y β, se considera una copia de α por cada elemento de β, donde dentro de cada copia se respeta el orden de α, y elementos de distintas copias se ordenan por su "índice" en β. De manera más técnica:

$\alpha \cdot \beta ={\overline {\alpha \times \beta }}$

donde en α×β se considera el orden dado por:

$(\gamma ,\delta )<(\gamma ',\delta ')\Leftrightarrow {\acute {\text{O}}}{\text{ bien }}\delta <\delta '{\text{, }}{\acute {\text{o}}}{\text{ bien }}\delta =\delta '{\text{ y }}\gamma <\gamma '$

El producto de ordinales es asociativo, con elemento neutro (α·1=1·α=α) y elemento absorbente (α·0=0·α=0), pero de nuevo no es conmutativa: 2·ω=ω≠ω·2=ω+ω.

Demostración

El ordinal 2·ω es el isomorfo al conjunto $\{0,0',1,1',2,2',3,3',\ldots \}$ donde las "copias" van "emparejadas". Es obvio que esto corresponde a un "cambio de nombre" de los elementos de ω. En el caso de ω·2, el conjunto considerado es $\{0,1,2,3,\ldots ,0',1',2',3',\ldots \}$ siendo todos los elementos de la segunda copia mayores que los de la primera. Ningún cambio de nombre en ω puede darnos esta estructura (nótese por ejemplo que dentro de ω·2 no se da el principio de inducción de los números naturales).

Exponenciación

La exponenciación de números ordinales se define de manera sencilla mediante inducción transfinita:

El ordinal αβ (con α≠0) viene dado por: $\displaystyle \alpha ^{0}=1$ $\alpha ^{\beta +1}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha$ $\alpha ^{\lambda }=\bigcup _{\gamma <\lambda }\alpha ^{\gamma }$

La exponenciación ordinal verifica varias de las propiedades de la exponeciación ordinaria:

$\alpha ^{\beta }\cdot \alpha ^{\gamma }=\alpha ^{\beta +\gamma }{\text{ , }}\alpha ^{\beta \cdot \gamma }=(\alpha ^{\beta })^{\gamma }{\text{ , }}1^{\alpha }=1{\text{ , }}\displaystyle \alpha ^{1}=\alpha$

La exponenciación ordinal es muy diferente a la cardinal. Por ejemplo, 2^ω=ω es numerable (a diferencia de 2^ℵ₀).

Demostración

ω es un ordinal límite, por lo que $2^{\omega }=\cup _{n\in \omega }2^{n}$ La exponeciación ordinal de números naturales coincide con la noción habitual de exponenciación. Por lo tanto, 2ω es el supremo de una sucesión de números naturales, luego ha de ser menor o igual que ω. Pero dicha sucesión no tiene máximo dentro de los números naturales, luego 2ω no puede ser ningún número natural. Por tanto 2ω=ω.

Véase también

• Número cardinal (teoría de conjuntos)
• Teoría del orden

Referencias

• Devlin, Keith (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (en inglés). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94094-4. 
• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos, consultado el 18 de octubre de 2010 ..