Diferencia entre revisiones de «Categoría (matemáticas)»

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En [[matemáticas]], una '''categoría''' es una estructura algebraica que consta de una colección de ''objetos'', conectados unos con otros mediante ''flechas'' tales que se cumplen las siguientes propiedades básicas: las flechas se pueden componer unas con otras de manera asociativa, y para cada objeto existe una flecha que se comporta como un elemento neutro bajo la composición.
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A simple example is the category of sets, whose objects are [[set (mathematics)|sets]] and whose arrows are [[function (mathematics)|functions]], and where composition is [[function composition]]. In general, objects and arrows may be abstract entities of any kind, and the notion of category provides a fundamental and abstract way to describe mathematical entities and their relationships. This is the central idea of ''[[category theory]]'', a branch of mathematics which seeks to generalize all of mathematics in terms of objects and arrows, independent of what the objects and arrows represent. Virtually every branch of modern mathematics can be described in terms of categories, and doing so often reveals deep insights and similarities between seemingly different areas of mathematics. For more extensive motivational background and historical notes, see [[category theory]] and the [[list of category theory topics]].
 
Un ejemplo clásico es la categoría de conjuntos, cuyos objetos son [[conjunto]]s y cuyas flechas son las [[Función (matemáticas)|funciónes]], y donde la composición de flechas es la composición usual de funciones. En general, los objetos y las flechas pueden ser objetos abstractos de cualquier tipo, y la noción de categoría provee de una manera abstracta y fundamental para describir entidades matemáticas y sus relaciones. Esta es la idea central de la [[teoría de categorías]], una rama de las matemáticas que busca generalizar todas las demás teorías matemáticas en términos de objetos y flechas. Prácticamente cualquier rama de las matemáticas modernas se puede describir en términos de categorías, y mediante esta descripción, es común que se revelen propiedades y similitudes muy profundas entre áreas aparentemente distintas. Para notas históricas y fundamentos más profundos véase [[teoría de categorías]].
Two categories are the same if they have the same collection of objects, the same collection of arrows, and the same associative method of composing any pair of arrows. Two categories may also be considered "[[equivalence of categories|equivalent]]" for purposes of category theory, even if they are not precisely the same. Many well-known categories are conventionally identified by a short capitalized word or abbreviation in bold or italics such as '''Set''' ([[category of sets]] and set functions),<ref>Jacobson (2009), p. 11, ex. 1.</ref> '''Ring''' ([[category of rings]] and ring homomorphisms),<ref>Jacobson (2009), p. 12, ex. 9.</ref> or '''Top''' ([[category of topological spaces]] and continuous maps).<ref>Jacobson (2009), p. 13, ex. 13.</ref>
 
Dos categorías son iguales si tienen la misma colección de objetos, la misma colección de flechas, y la misma forma asociativa de componer flechas. Dos categorías también se pueden considerar equivalentes incluso si no son precisamente la misma. Muchas categorías muy cotidianas se denotan comunmente con una abreviación del tipo de sus objetos, por ejemplo: '''Con''' se refiere a la [[categoría de conjuntos]], '''Top''' se refiere a la [[categoría de espacios topológicos]], '''Ab''' se refiere a la [[categoría de grupos abelianos]], etc.
==Definition==
 
A '''category''' ''C'' consists of
==Definición==
* a [[Class (set theory)|class]] ob(''C'') of '''objects''':
Una '''categoría''' '''C''' consta de
* a class hom(''C'') of '''[[morphism]]s''', or '''arrows''', or '''maps''', between the objects. Each morphism ''f'' has a unique ''source object a'' and ''target object b'' where ''a'' and ''b'' are in ob(''C''). We write ''f'': ''a'' → ''b'', and we say "''f'' is a morphism from ''a'' to ''b''". We write hom(''a'', ''b'') (or hom<sub>''C''</sub>(''a'', ''b'') when there may be confusion about to which category hom(''a'', ''b'') refers) to denote the '''hom-class''' of all morphisms from ''a'' to ''b''. (Some authors write Mor(''a'', ''b'') or simply ''C''(''a'', ''b'') instead.)
*una clase ob('''C''') de '''objetos'''
* for every three objects ''a'', ''b'' and ''c'', a binary operation hom(''a'', ''b'') × hom(''b'', ''c'') → hom(''a'', ''c'') called ''composition of morphisms''; the composition of ''f'' : ''a'' → ''b'' and ''g'' : ''b'' → ''c'' is written as ''g'' o ''f'' or ''gf''. (Some authors write ''fg'' or ''f;g''.)
*para cada par de objetos A, B en ob('''C''') un conjunto '''C'''(A,B) de '''flechas''' o '''morfismos''' de A a B.
*para cada terna de objetos A, B, C de '''C''' una función o:'''C'''(A,B)×'''C'''(B,C)→'''C'''(A,C) donde o(f,g) se denota gof
 
Además, los siguientes axiomas deben ser ciertos:
*([[asociatividad]]) para cualquier terna de flechas f,g,h ho(gof)=(hog)of, si es que estas composiciones están definidas
*([[identidad]]) para todo objeto A en ob('''C''') existe una flecha en '''C'''(A,A) comunmente denotada 1<sub>A</sub> tal que para toda flecha f en '''C'''(A;B) f=1<sub>B</sub>of y f=fo1<sub>A</sub>
 
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such that the following axioms hold:
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