Categoría de espacios topológicos

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La categoría Top tiene espacios topológicos como objetos y funciones continuas como morfismos. Esto es una categoría porque la composición de dos funciones continuas es asimismo continua (algunos autores utilizan el nombre Top para la categoría con las variedades topológicas como objetos y funciones continuas como morfismos; Wikipedia sigue la convención dada arriba). Los monomorfismos en Top son las funciones continuas inyectivas, los epimorfismos son las funciones continuas sobreyectivas, y los isomorfismos son los homeomorfismos. El conjunto vacío (considerado como un espacio topológico) es el objeto inicial de Top; cualquier topología sobre un conjunto de un solo elemento es un objeto terminal de Top.

El producto en Top viene dado por la topología del producto en el producto cartesiano. Usando la topología del subespacio para los subconjuntos de esos productos, uno puede entonces demostrar que Top es una categoría completa. El coproducto es dado por la unión disjunta de espacios topológicos. Usando la topología del cociente, una puede entonces demostrar que Top es también cocompleta. Top no es cartesianamente cerrada (y por lo tanto tampoco es un topos) puesto que no tiene objetos exponenciales. Tenemos un funtor de "olvido": Top --> Set que asigna a cada espacio topológico el conjunto subyacente, y a cada función continua la función subyacente. Este funtor es fiel, y por lo tanto Top es una categoría concreta. El funtor de olvido tiene un adjunto izquierdo (que equipa un conjunto dado con la topología discreta) y un adjunto derecho (que equipa un conjunto dado con la topología trivial).