Teorema de Brianchon

En geometría, el teorema de Brianchon, nombrado así en honor a Charles Julien Brianchon (1783—1864), establece lo siguiente:

Sea ABCDEF un hexágono formado por seis rectas tangentes de una sección cónica. Entonces, los segmentos AD, BE, CF se intersecan en un solo punto.

El punto de intersección se denomina punto de Brianchon.

El teorema de Brianchon se cumple en el plano afín y en el plano proyectivo real. Sin embargo, su enunciado en el plano afín puede ser menos informativo y más complicado que en el plano proyectivo. Considérese, por ejemplo, el caso de cinco rectas tangentes a una parábola. Pueden ser considerardas como cinco de los seis lados de un hexágono, siendo el lado restante la recta del infinito; sin embargo, no hay tal recta en el plano afin (ni en el plano proyectivo a menos que uno escoja una recta para desempeñar ese papel). Una recta que vaya desde un vértice al vértice opuesto sería entonces una recta paralela a una de las cinco rectas tangentes. El teorema de Brianchon para el plano afín no informaría de una situación así.

El teorema dual de este teorema es el teorema de Pascal, que tiene excepciones en el plano afín pero no en el proyectivo.

El teorema de Brianchon se puede demostrar mediante el concepto de eje radical o la reciprocación.

Referencias

• Coxeter, H. S. M. (1987). Projective Geometry (2nd ed. edición). Springer-Verlag. Theorem 9.15, p. 83. ISBN 0-387-96532-7.