Límite de una función

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, pero distintos de c.

Historia

Aunque implícita en el desarrollo del Calculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.​ Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática.​ La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860​ y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.​

Definición formal

Funciones en espacios métricos

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

${\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \\\forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0:\\\forall x(0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon )\end{array}}$

El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a c será L si y solo sí para todo $\epsilon$ > 0 existe un $\delta$ > 0 tal que para todo número real x en 0 < |x - c| < $\delta$, tenemos que |f(x) - L| < $\epsilon$

El siguiente concepto de límite es el de la definición formal, la cual no es muy aprensible para el común de la gente. Dicha formulación matemática es más conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto.

Supóngase f : (M, d_M) -> (N, d_N) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en c es L" y escribimos

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < d_M(x, c) < δ, tenemos d_N(f(x), L) < ε.

En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = c es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x:

si $0<\left|x-c\right|<\delta$ , entonces $\left|f\left(x\right)-L\right|<\epsilon$

Observemos que la solución de la desigualdad 0 < | x - c | < δ es la siguiente:

x pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ): x no toca el valor de c, pues

0 < | x - c | implica x distinto de c,

mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la siguiente:

y pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de la x está en la vecindad horizontal alrededor del punto "c" y agujereada en "c" con radio delta y centro "c", aun cuando en ese punto "c" no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(c) y radio épsilon.

Unicidad del límite

Teorema. Si el límite de una función existe, entonces es único.

Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.​

Supongamos que $lim_{x\rightarrow p}f(x)=L$, veamos que no puede ser que $L'\neq L$ también verifique la definición. Para ello tomamos un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersecten. Por definición de límite $f(x)\in E$ para todo x en algún entorno agujereado de p, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.

Límite de una función en un punto

Sea f una función real, entonces

$\lim _{x\to c}f(x)=L,\quad c,L\in \mathbb {R}$

si y sólo si

para todo $\varepsilon >0\;$ existe un $\delta >0\;$ tal que para todo número real x en el dominio de la función

$0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Notación formal: $\forall \varepsilon >0,\exists {\delta >0}/\forall _{x\in \mathbb {D} }\ 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Indeterminaciones

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos:

${\begin{array}{ll}\infty -\infty \\\\{\cfrac {\infty }{\infty }}&{\cfrac {0}{0}}\\\\\infty \cdot 0&1^{\infty }\\\\\infty ^{0}&0^{0}\end{array}}$

* Nota: $\infty \,\!$ se refiere al límite que tiende infinito y $0\,\!$ al límite cuando tiende 0 (no al número 0).

Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes:

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t^{2}}}=\infty$

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t}}=1$

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t^{2}}{t}}=0$

Propiedades de los límites

Si k es un escalar:

1. Límite de una constante: $\lim _{x\to p}k=\,k\,$
2. Límite de la función identidad: $\lim _{x\to p}x=\,p\,$
3. Producto de una función y una constante: $\lim _{x\to p}kf(x)=\,k\lim _{x\to p}f(x)\,$
4. Límite de una suma: $\lim _{x\to p}(f(x)+g(x))=\,\lim _{x\to p}f(x)+\lim _{x\to p}g(x)\,$
5. Límite de una resta: $\lim _{x\to p}(f(x)-g(x))=\,\lim _{x\to p}f(x)-\lim _{x\to p}g(x)\,$
6. Límite de un producto: $\lim _{x\to p}(f(x)g(x))=\,\lim _{x\to p}f(x)\cdot \lim _{x\to p}g(x)\,$
7. Límite de un cociente: $\lim _{x\to p}{{f(x)} \over {g(x)}}=\,{{\lim _{x\to p}{f(x)}} \over {\lim _{x\to p}{g(x)}}}\,\ si\ g(x)\neq 0\ y\lim _{x\to p}g(x)\neq 0,$
8. Límite de una potencia: ${\lim _{x\to p}f(x)^{g(x)}}=\,{\lim _{x\to p}f(x)^{\lim _{x\to p}g(x)}}\,\ si\ f(x)>0$
9. Límite de un logaritmo: ${\lim _{x\to p}\log f(x)}=\,\log {\lim _{x\to p}f(x)}$
10. Definión del número e como límite: ${\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{1 \over x}}=\,{\lim _{x\to \infty }\left(1+{1 \over x}\right)^{x}}=\,e$
11. ${\lim _{x\to p}\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=\,0{\mbox{ si }}f(x)\,{\mbox{ acotada y }}g(x){\mbox{ infinitesimo}}$.

Límites trigonométricos

1. ${\lim _{x\to \infty }x\;\sin \left({\frac {2\pi }{x}}\right)\cos \left({\frac {2\pi }{x}}\right)}=\,2\pi$
2. ${\lim _{x\to 0}{{\operatorname {sen} x} \over x}}={\lim _{x\to 0}{x \over \operatorname {sen} x}}=\,1\,$
3. ${\lim _{x\to 0}{\tan x \over x}}={\lim _{x\to 0}{x \over \tan x}}=\,1\,$
4. ${\lim _{x\to 0}{\operatorname {sen} x \over \tan x}}\,={\lim _{x\to 0}{\tan x \over \operatorname {sen} x}}=\,1$
5. ${\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}}=\,1/2\,$

Véase también

• Límite matemático
• Topología de red, una generalización del concepto de límite.