Número hiperreal

Historia

El concepto de número hiperreal proviene del análisis no estándar, dominio que fue desarrollado en los años 1970 por Abraham Robinson.

El análisis no estándar pretende, y logra, justificar rigurosamente el empleo de números infinitos e infinitesimales. Estos números, llamados hiperreales, ya fueron empleados por los matemáticos griegos, pero de un modo totalmente intuitivo.

Para ellos, una longitud a era infinitesimal comparada con b si multiplicándola por cualquier entero nunca se lograría superar a b: 2a, 3a, 4a ... 1000a ...n·a ... son todos inferiores a b (con n un entero cualquiera). Esta definición es la negación misma de la propiedad fundamental que dice que el conjunto de los números reales es arquimediano.

Entre el renacimiento y el siglo XVIII se volvió a utilizar los infinitesimales y Gottfried Leibniz propuso una teoría, construida a partir de un número infinito «mayor que todos enteros existentes». Esta teoría no tenía fundamentos lógicos sólidos, pero permitía hacer los cálculos que necesitaban los físicos, sobre todo en las ecuaciones diferenciales.

Se siguió empleando los infinitesimales hasta bien entrado el siglo XVIII, cuando se inventó y perfeccionó la teoría de los límites, que los hizo inútiles. El precio de este rigor fue un formalismo pesado y poco intuitivo, aunque más productivo.

Se soñó en los siglos XIX y XX con inventar unas matemáticas que dejarían cabida para los añorados números infinitos (grandes o pequeños).

La tentación era siempre añadir estas cantidades mal definidas al conjunto de los números reales, pero el problema era que se tenía entonces que averiguar si los teoremas vigentes en los reales eran o no válidos para los hiperreales. Naturalmente, nunca se logró, porque no era el método adecuado.

Axiomática moderna

La idea para salir de este callejón fue la siguiente: Para añadir los hiperreales, no hay que tocar la construcción de los conjuntos de números, sino el lenguaje lógico que sirve de fundamento para esa construcción. Esto no fue posible hasta que se formalizara completamente la teoría de los conjuntos numéricos con los axiomas de Zermelo-Fraenkel. Luego se tuvo que esperar un teorema de compacidad en el dominio de la lógica para tener el derecho de añadir axiomas a una teoría sin que ésta perdiera consistencia;

Concretamente, Robinson inventó un nuevo predicado unario: "estándar" y de ahí se presenta dos casos: un número x es estándar o no lo es.

Un poco de vocabulario:

Una propiedad o proposición es interna si se puede expresar en la teoría de Zermelo-Fraenkel, es decir si no requiere la palabra estándar o una de sus derivadas para definirse. Se emplea también la palabra estándar para cualificar a una fórmula interna lo que puede provocar confusión: una fórmula es estándar si no contiene la palabra estándar...

Una fórmula es externa cuando no se puede escribir sin emplear la palabra estándar o una de sus derivadas.

Luego se impuso tres condiciones a este predicado (llamadas transferencia, idealización y estandarización) para asegurarse de la existencia de nuevos números, no estándares, con las propiedades adecuadas, dignas de infinitesimales e infinitos.

Veámoslo más en detalle:

La propiedad de transferencia es la siguiente:

• Si para cualquier x estándar, P (x) es cierto (P es una proposición interna) entonces P (x) es cierto para cualquier x (sea o no estándar):

$\forall ^{st}P\ (\ (\forall ^{st}x\ P(x))\Longrightarrow (\forall x\ P(x))\ )$

Está propiedad significa que todas las reglas clásicas, que son ciertas en las matemáticas usuales se generalizan sin cambio alguno a los objetos no estándares. O sea, no hay que demostrarlas de nuevo.

Por ejemplo, sea P (x) la proposición: si x > 0 entonces existe y tal que 0 < y < x. Sabemos que P (x) es siempre cierta en los reales usuales (para y basta con tomar x/2). P es además una proposición interna. En consecuencia, P es válida también para todos los reales no estándares.

La transferencia se emplea a menudo bajo su forma contrapuesta:

$\forall ^{st}Q\ (\ (\exists x\ Q(x))\Longrightarrow (\exists ^{st}x\ Q(x))\ )$

Lo que se puede parafrasear así: si existe un elemento que verifique una propiedad interna, entonces existe un elemento estándar que también lo verifique.

La propiedad de idealización es la siguiente (con P una proposición interna):

• Si para todo x estándar existe un y tal que P (x, y) sea cierta, entonces existe un y tal que para todo x estándar, P (x, y) sea cierta:

$\forall ^{st}P\ (\ (\forall ^{st}x\ \exists y\ P(x,y)\ )\Longrightarrow (\exists y\ \forall ^{st}x\ P(x,y)\ )\ )$

Se ha permutado los x y los y, y el nuevo y es ideal en el sentido que funciona con todos los x.

Por ejemplo, tomemos el P anterior: P (x, y) significa: 0 < y < x. Sabemos que para cualquier x>0 estándar, existe un y entre él y 0, por lo tanto debe existir un y ideal que sea siempre entre 0 y cualquier x > 0 estándar. En otras palabras, existe un número distinto de cero pero inferior a cualquier real positivo. Este número es por definición un infinitesimal, y se denota su naturaleza así: $y\approx 0$

De la misma manera se demuestra que existen números infinitos (que no tienen nada que ver con los ordinales infinitos o los cardinales infinitos): Para todo x estándar existe un y mayor (por ejemplo x + 1 ), luego existe un y ideal mayor que todos los x estándares: es por definición un número infinito, lo que se denota $y\approx +\infty$

La propiedad de la estandarización es técnica, y de poco interés de momento.

En la figura siguiente se ha representado la recta de los hiperreales a tres escalas distintas: ω es un número infinito cualquira y ε es un infinitesimal, también cualquiera. Ambos son positivos.
Para pasar de una línea a la siguiente agrandamos la escala de un factor infinito. En la primera línea, los números finitos no se pueden distinguir porque están todos infinitamente próximos al cero, como pegados. En la segunda son los infinitesimales que no se pueden vislumbrar, y los infinitos están lógicamente a una distancia infinita del cero.

Los infinitos de esta teoría no tienen nada que ver con los inventados por Georg Cantor, en el contexto de los ordinales y los cardinales. (ver números infinitos). En efecto Cantor, que inventó (en Occidente) la noción de número infinito sólo se interesó en los enteros, mientras que el análisis no estándar se ocupa de los reales. Si ω designa el primer infinito de Cantor, entonces $\omega \over 2$ y

${\sqrt {7}}\omega$

simplemente no tienen significado en su teoría.

Aplicaciones

Continuidad y continuidad uniforme

Para ver el beneficio que se puede sacar del análisis no estándar, comparemos la expresión de la continuidad en el punto x:

expresión clásica :

$(1)\quad \quad \forall \epsilon >0\ \ \exists \alpha >0\ \forall y\ (\left|y-x\right|<\alpha \Longrightarrow \left|f(y)-f(x)\right|<\epsilon )$

expresión en análisis no estándar :

$(2)\quad \quad \forall y\ (\ y\approx x\Longrightarrow f(y)\approx f(x)\ )$

La fórmula no estándar resulta mucho más intuitiva y práctica. En general, los números hiperreales permiten suprimir muchos cuantificadores, es decir bajar la complejidad de las fórmulas.

Prueba de la equivalencia:

La expresión clásica es de la forma $\forall \epsilon \ \ P(\epsilon )$ con P una proposición estándar (con tal de que f sea una función estándar también). Entonces, por transferencia equivale a $\forall ^{st}\epsilon \ \ P(\epsilon )$.

P(ε) es de la forma $\exists$α Q(α, ε). Por transferencia también, equivale a $\exists ^{st}$α Q(α, ε).

Hasta aquí se ha obtenido la equivalencia entre (1) y :

$(1')\quad \quad \forall ^{st}\epsilon >0\ \ \exists ^{st}\alpha >0\ \forall y\ (\left|y-x\right|<\alpha \Longrightarrow \left|f(y)-f(x)\right|<\epsilon )$

Ahora, por definición cualquier infinitesimal es inferior a α y ε que son estándares estrictamente positivos. Luego si x $\approx$ y entonces |y - x | $\approx$ 0 luego |y - x | < α.

Por la implicación de (1') se obtiene |f (y) - f (x)| < ε. Como esto es cierto para cualquier ε >0 estándar, entonces |f (y) - f (x)| es infinitesimal, lo que significa que f (y)$\approx$f(x) Acabamos de probar que (1') implica (2).

La recíproca es muy parecida: Supongamos (2), y escojamos ε >0 estándar. Entonces cualquier infinitesimal α conviene en (1):

Si |y - x| < α $\approx$ 0 entonces y $\approx$ x luego por (2): f (y) $\approx$ f (x) entonces |f (y) - f (x)| $\approx$ 0 y por tanto |f (y) - f (x)| < ε.

Por transferencia también existe un α estándar que conviene, lo que da (1').

La continuidad en todo R equivale (por transferencia) a la continuidad en todos su s estándares:

$(3)\quad \quad \forall ^{st}x\ \forall y\ (\ y\approx x\Longrightarrow f(y)\approx f(x)\ )$

La continuidad uniforme sobre el intervalo I = R se expresa así:

$(4)\quad \quad \forall \epsilon >0\ \forall x\ \exists \alpha >0\ \forall y\ (\left|y-x\right|<\alpha \Longrightarrow \left|f(y)-f(x)\right|<\epsilon )$

expresión en análisis no estándar :

$(5)\quad \quad \forall x\ \forall y\ (\ y\approx x\Longrightarrow f(y)\approx f(x)\ )$

La única diferencia entre (3) y (5) es que en la continuidad uniforme x no tiene que ser estándar. No son equivalentes porque no se puede aplicar la transferencia aquí: los $\approx$ hacen que no se trata de una fórmula estándar.

Consideremos la función f: ${\begin{matrix}\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\x&\longmapsto &x^{2}\end{matrix}}$

Para mostrar su continuidad, tomemos x estándar, y por lo tanto finito, e y = x + ε con $\epsilon \approx 0$ infinitesimal. (luego $y\approx x$).

Entonces $f(y)=y^{2}=(x+\epsilon )^{2}=x^{2}+2x\epsilon +\epsilon ^{2}=x^{2}+(2x+\epsilon )\epsilon \approx x^{2}=f(x)$ porque 2x + ε es un número finito que, multiplicado por un infinitesimal, ε da un infinitesimal. Esto demuestra la continuidad.

Pero f no es uniformemente continua: si tomemos esta vez un x infinito: x = ω y $\epsilon ={\frac {1}{\omega }}$ infinitesimal, entonces :

$f(\omega +\epsilon )=\omega ^{2}+2\omega \cdot {\frac {1}{\omega }}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}=\omega ^{2}+2+{\frac {1}{\omega ^{2}}}\approx \omega ^{2}+2\ \not \approx \ \omega ^{2}=f(\omega )$. No existe prueba más sencilla.

Límites

El límite de una sucesión corresponde a un valor de rango infinito de ésta. Más precisamente, sea $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }\$ una sucesión (estándar) convergente hacia l eventualmente infinito. Entonces, para todo $\omega \approx \ +\infty ,\ \ u_{\omega }\approx l$

Las nociones de continuidad y de límites son formalmente muy parecidas, de hecho un límite se puede interpretar como una continuidad en un punto infinito. Por eso las pruebas son esencialmente las mismas.

La expresión clásica de $\lim _{n\to \infty }u_{n}=l$ es, para l finito:

$\forall \epsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} ,\forall n\ ((n>N)\Longrightarrow (|u_{n}-l|<\epsilon )$

Números hiperrales

Los números hiperreales o reales no estándar, son una extensión de los números reales $\mathbb {R}$, en dónde se añaden números infinitamente grandes así como números infinitesimales.

El estudio de estos números, sus funciones y propiedades se llama análisis no estándar el cual, para muchos, es más intuitivo que el análisis real estándar.

Cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz introdujeron los diferenciales, ellos estaban usando infinitesimales y estos también fueron usados por Leonhard Euler y Augustin Louis Cauchy.

Sin embargo, estos conceptos, desde el principio, no fueron muy bien vistos. Hasta la definición del límite con 'epsilon' y 'delta' por Cauchy y Weierstrass no fueron tomados en serio.

El análisis no estándar fue desarrollado hace unos escasos 30 años.

El análisis no estándar pretende, y logra, justificar rigurosamente el empleo de números infinitos e infintesimales. Estos números, llamados hiperreales ya fueron empleados por los matemáticos griegos, pero eso sí, de un modo totalmente intuitivo. Se siguió empleándolos hasta bien entrado el siglo dieciocho, cuando se inventó y perfeccionó la teoría de los límites, que hizo inútil los infinitesimales. El precio de este rigor fue un formalismo pesado y poco intuitivo, aunque más productivo.

Se soñó en los siglos XIX y XX con inventar unas matemáticas que dejarían cabida para los añorados números infinitos (grandes o pequeños).

La tentación era siempre añadir estas cantidades mal definidas al conjunto de los números reales, pero el problema era que se tenía entonces que averiguar si los teoremas vigentes en los reales eran o no válidos para los hiperreales. Y naturalmente, nunca se logró.

Porque no era el método adecuado.

La idea para salir de este callejón fue la siguiente: Para añadir los hiperreales, no hay que tocar la construcción de los conjuntos de números, sino el lenguaje lógico que sirve de fundamento para esa construcción.

Concretamente, se inventó un nuevo predicato unario: "estándar" y de ahí se presenta dos casos: un número x es estándar o no lo es.

Luego se impusó tres condiciones a este predicato (llamadas transferencia, idealización y estandarización) para asegurarse de la existencia de nuevos números, no estándares con las propiedades adecuadas, dignas de infinitesimales e infinitos. Toda una hazaña.

Veámoslo más en detalle:

Una propiedad o proposición es estándar si es clásica es decir que no requiere la palabra estándar o una de sus derivadas para definirse. Puede parecer paradójico, mas no lo es.

La propiedad de transferencia es la siguiente:

• Si para cualquier x estándar, P (x) es cierto (P es una proposición estándar) entonces P (x) es cierto para cualquier x (sea o no estándar):

$\forall ^{st}P\ (\ (\forall ^{st}x\ P(x))\Longrightarrow (\forall x\ P(x))\ )$

Está propiedad significa que todas las reglas clásicas, que son ciertas en las matemáticas usuales se generalizan (sin cambio) en los conjuntos no estándares. O sea, no hay que demostrarlos de nuevo. Por ejemplo, sea P (x) la proposición: x>0 y existe y tal que 0<y<x.

Sabemos que P (x) es siempre cierta en los reales usuales. P es además una proposición clásica (estándar). en consecuencia, P es válida también para todos los reales no estándares.

La propiedad de idealización es la siguiente: (con P una proposición estándar)

• Si para todo x estándar existe un y tal que P (x, y) sea cierta, entonces existe un y tal que para todo x estándar, P (x, y) sea cierta:

$\forall ^{st}P\ (\ (\forall ^{st}x\ \exists y\ P(x,y))\Longrightarrow (\exists y\ \forall ^{st}x\ P(x,y))\ )$

Se ha permutado los x y los y, y el nuevo y es ideal en el sentido que funciona con todos los x.

Por ejemplo, tomemos el P anterior: P (x, y) significa: x>0 y 0<y<x. Sabemos que para cualquier x>o estándar, existe un y entre él y 0, por lo tanto debe existir un y ideal que sea siempre entre 0 y cualquier x>0 estándar. En otras palabras, existe un número distinto de cero pero inferior a cualquier real positivo. Este número es por definición un infinitesimal.

De la misma manera se demuestra que existen números infinitos (que no tienen nada que ver con los ordinales infinitos o los cardinales infinitos).

La propiedad de la estandarización es técnica, y de poco interés aquí.

Para ver el beneficio que se puede sacar del análisis no estándar, comparemos la expresión de la continuidad en el punto x:

• Expresión clásica:

$\forall y\ \forall \epsilon >0\ \exists \alpha >0\ (\left|y-x\right|<\alpha \Longrightarrow \left|f(y)-f(x)\right|<\epsilon )$

• Expresión en análisis no estándar:

$\forall y\ (\ y\simeq x\Longrightarrow f(y)\simeq f(x)\ )$

La fórmula no estándar resulta mucho más intuitiva y práctica.

En general, los números hiperreales permiten suprimir muchos cuantificadores, es decir, bajar la complejidad de las fórmulas.

Véase también

• Infinitesimal
• Números reales
• Números complejos

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El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en castellano bajo la licencia GFDL.

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