Diferencia entre revisiones de «Recta de Euler»
m Revertidos los cambios de 187.158.125.35 a la última edición de Drinibot |
|||
| Línea 4: | Línea 4: | ||
{{cita|La naturaleza de algunos de sus más sencillos descubrimientos es tal que uno bien puede pensar en el fantasma de Euclides diciendo «Pero ¿cómo no se me ocurrió?»|2=[[H. S. M. Coxeter]] en relación al trabajo de Euler.<ref>{{cita libro |apellidos=Coxeter |nombre=Harold Scott MacDonald |enlaceautor=H._S._M._Coxeter |editorial= Limusa-Wiley|título= Fundamentos de Geometry (Introduction to Geometry)|edición=2a |año=1969|isbn=978-0471504580 |capítulo=1. Triángulos}}</ref> }} |
{{cita|La naturaleza de algunos de sus más sencillos descubrimientos es tal que uno bien puede pensar en el fantasma de Euclides diciendo «Pero ¿cómo no se me ocurrió?»|2=[[H. S. M. Coxeter]] en relación al trabajo de Euler.<ref>{{cita libro |apellidos=Coxeter |nombre=Harold Scott MacDonald |enlaceautor=H._S._M._Coxeter |editorial= Limusa-Wiley|título= Fundamentos de Geometry (Introduction to Geometry)|edición=2a |año=1969|isbn=978-0471504580 |capítulo=1. Triángulos}}</ref> }} |
||
== Demostración == |
|||
sdrian talamantes |
|||
En un triángulo ''ABC'', se determinan ''D'' es el punto medio del lado ''BC'' y ''E'' el punto medio del lado ''CA''. Entonces ''AD'' y ''BE'' son [[mediana]]s que se intersecan en el [[baricentro]] ''G''. Trazando las [[perpendicular]]es por ''D'' y ''E'' se localiza el [[circuncentro]] ''O''. |
|||
A continuación se prolonga la recta ''OG'' (en dirección a ''G'') hasta un punto ''P'' de modo que ''PG'' tenga el doble de longitud de ''GO'' (figura 1). |
|||
Al ser ''G'' baricentro, divide a las medianas en razón 2:1, es decir: ''AG=2GD''. De este modo |
|||
{{ecuación|<math>\frac{AG}{GD} = 2 = \frac{PG}{GO}</math>.|3=left}} |
|||
Por otro lado, los ángulos ''AGP'' y ''DGO'' son opuestos por el vértice y por tanto iguales. Estas dos observaciones permiten concluir que los triángulos ''AGP'' y ''DGO'' son [[triángulos semejantes|semejantes]]. |
|||
Pero de la semejanza se concluye que los ángulos ''PAG'' y ''ODG'' son iguales y de este modo ''AP'' es paralela a ''OD''. Finalmente, dado que ''OD'' es perpendicular a ''BC'' entonces ''AP'' también lo será, es decir ''AP'' es la altura del triángulo. |
|||
<gallery widths="200px"> |
|||
Imagen:Recta de Euler-paso1.svg|1. Se construye ''PG'' de modo que tenga el doble de longitud de ''GO''. |
|||
Imagen:Recta de Euler-paso2.svg|2. Los triángulos ''AGP'' y ''DGO'' son semejantes. |
|||
Imagen:Recta de Euler-paso3.svg|3. Las rectas ''DO'' y ''AP'' son paralelas. Por tanto ''AP'' es altura del triángulo. |
|||
</gallery> |
|||
Un argumento similar prueba que los triángulos ''BPG'' y ''EOG'' son semejantes y por tanto ''BP'' también es altura. Esto demuestra que ''P'' es el punto de intersección de las alturas y por tanto ''P=H'', es decir, ''P'' es el ortocentro. |
|||
== Referencias == |
== Referencias == |
||
Revisión del 17:40 13 may 2010
La recta de Euler de un triángulo es aquella que contiene al ortocentro, al circuncentro y al baricentro del mismo. Se llama así, en honor al matemático suizo Leonhard Euler quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.
La naturaleza de algunos de sus más sencillos descubrimientos es tal que uno bien puede pensar en el fantasma de Euclides diciendo «Pero ¿cómo no se me ocurrió?»H. S. M. Coxeter en relación al trabajo de Euler.[1]
Demostración
En un triángulo ABC, se determinan D es el punto medio del lado BC y E el punto medio del lado CA. Entonces AD y BE son medianas que se intersecan en el baricentro G. Trazando las perpendiculares por D y E se localiza el circuncentro O.
A continuación se prolonga la recta OG (en dirección a G) hasta un punto P de modo que PG tenga el doble de longitud de GO (figura 1).
Al ser G baricentro, divide a las medianas en razón 2:1, es decir: AG=2GD. De este modo
.
Por otro lado, los ángulos AGP y DGO son opuestos por el vértice y por tanto iguales. Estas dos observaciones permiten concluir que los triángulos AGP y DGO son semejantes.
Pero de la semejanza se concluye que los ángulos PAG y ODG son iguales y de este modo AP es paralela a OD. Finalmente, dado que OD es perpendicular a BC entonces AP también lo será, es decir AP es la altura del triángulo.
-
1. Se construye PG de modo que tenga el doble de longitud de GO. -
2. Los triángulos AGP y DGO son semejantes. -
3. Las rectas DO y AP son paralelas. Por tanto AP es altura del triángulo.
Un argumento similar prueba que los triángulos BPG y EOG son semejantes y por tanto BP también es altura. Esto demuestra que P es el punto de intersección de las alturas y por tanto P=H, es decir, P es el ortocentro.
Referencias
- ↑ Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969). «1. Triángulos». Fundamentos de Geometry (Introduction to Geometry) (2a edición). Limusa-Wiley. ISBN 978-0471504580.