Álgebra de conjuntos

$A\cap B$

$A\cup B$

$A\triangle B$

$A\setminus B$

$U\setminus B=B^{C}$

El álgebra de conjuntos define las operaciones, reglas y propiedades que podemos aplicar con los conjuntos.

Conjuntos

• Conjunto:conjunto cualesquiera la nombraremos con una letra mayúscula: $A,B,C,...,X,Y,Z\,$
• Conjunto universal: Que contiene a todos los conjuntos de los que estemos tratando, lo nombraremos con la letra u mayúscula: $U\,$
• Conjunto vacío: Que es el conjunto que no tiene ningún elemento, lo nombraremos con: $\varnothing \,$
• Elemento de un conjunto: Que es un objeto Individual que forma parte de ese conjunto. $a\in A\,$

Operaciones

• Intersección de conjuntos $(A\cap B)$: La intersección de 2 conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto a A como a B.
• Unión de conjuntos $(A\cup B)$: La unión de 2 conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.
• Diferencia de conjuntos o complemento relativo $A\setminus B$: La diferencia de A y B, es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a su vez a B.
• Complemento de un conjunto $A^{C}\,$: Es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A.

Propiedades

• Idempotencia o igual potencia:
  • $A\cup A=A$
  • $A\cap A=A$
• Asociativa:
  • $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C$
  • $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C$
• Conmutativa:
  • $A\cup B=B\cup A$
  • $A\cap B=B\cap A$
• Distributiva:
  • $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
  • $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
• Identidad:
  • $A\cup \varnothing =A$
  • $A\cap \varnothing =\varnothing$
• Complementariedad:
  • $A\cup A^{C}=U$
  • $A\cap A^{C}=\varnothing$
  • $U^{C}=\varnothing$
  • $\varnothing ^{C}=U$
• Involutiva:
  • ${(A^{C})}^{C}=A$
• Ley de De Morgan:
  • $(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$
  • ${(A\cap B)}^{C}=A^{C}\cup B^{C}$
• Para cualquier conjunto $A$ y $B$
  • $A=(A\cap B)\cup (A\cap B^{C})$

Pero las notaciones pueden variar. Esto se aprecia en los distintos libros de algebra del mercado.

Véase también

• Teoría de conjuntos
• Teoría de axiomática de conjuntos

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Álgebra de conjuntos.