Infinitesimal

Un infinitesimal o infinitésimo se puede definir como una cantidad infinitamente pequeña, se usa en el cálculo infinitesimal, se definen estrictamente como limites y se suelen considerar como números en la práctica.

Introducción

El cálculo infinitesimal fue propuesto inicialmente por Arquímedes. Luego fue utilizado por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, en los albores del surgimiento del Análisis matemático moderno, pero posteriormente fue desacreditado por George Berkeley y finalmente olvidado. Durante el siglo XIX Karl Weierstrass y Cauchy comenzaron a utilizar la definición formal de límite matemático, por lo que el cálculo infinitesimal ya no era necesario. Sin embargo durante el siglo XX los infinitesimales fueron rescatados como una herramienta que ayuda a calcular límites de forma simple. Es bastante popular el uso de infinitésimos en la bibliografía rusa.

Otra manera de trabajar con los infinitésimos es considerarlos como números, y no como límites, es decir trabajar en un conjunto $\Re$ que contenga más números que los usuales. Se les llaman números hiperreales, y son una creación del análisis no estándar.

Definición

Un infinitesimal o infinitésimo es una cantidad infinitamente pequeña. Se puede definir matemáticamente como:

$\lim _{x\to a}f(x)=0$ se dice que f es un infinitésimo en x=a

Algunas funciones son infinitésimos en determinados puntos, por ejemplo:

f(x) = x-1 es un infinitésimo en x=1

g(x) = sen(x) es un infinitésimo en $0+k\pi$ con $k\in \mathbb {Z}$

Por lo tanto, toda función cuando tiende a 0 en un punto se denomina infinitésima.

Propiedades de los infinitésimos

1. La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.
2. El producto de dos infinitésimos es un infinitésimo.
3. El producto de un infinitésimo por una función acotada es un infinitésimo.
4. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.

Comparación de infinitésimos

Dadas $\lim _{x\to a}f(x)=0$ y $\lim _{x\to a}g(x)=0$

1. Si $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\infty$ f y g son infinitésimos comparables en x=a y f es un infinitésimo de orden inferior a g en x=a
2. Si $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0$ f y g son infinitésimos comparables en x=a y f es un infinitésimo de orden superior a g en x=a

Si $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=l$ con l perteneciente a $\mathbb {R} -\left\{0\right\}$ f y g son infinitésimos del mismo orden en x=a

1. En particular, si $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$ f es un infinitésimo equivalente en x=a
   
   

Si dos infinitésimos son equivalentes entonces se puede aproximar uno a otro. Es decir si $f(x)$ y g(x) son infinitésimos equivalentes cuando $x\to a$ entonces se puede decir que $f(x)\approx g(x)$ cuando $x\to a$. Si se presentan como factor o divisor pueden sustituirse uno por otro para el cálculo de límites cuando $x\to a$.

Algunos Infinitésimos equivalentes

(f(x) es un infinitésimo cuando $x\to 0$)

1. $sen(f(x))\approx f(x)$
2. $tan(f(x))\approx f(x)$
3. $1-cos(f(x))\approx {\frac {(f(x))^{2}}{2}}$
4. $arcsen(f(x))\approx f(x)$
5. $arctan(f(x))\approx f(x)$
6. $e^{f(x)}-1\approx f(x)$
7. $ln(1+f(x))\approx f(x)$

Véase también

• Números hiperreales
• Regla de L'Hôpital
• Límite de una función
• Derivada
• Integral