Identidad de Euler

Se llama identidad de Euler a una fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas:

$e^{i\pi }+1=0\;$

donde:

• π es el número más importante de la geometría
• e es el número más importante del análisis matemático
• i es el número más importante del álgebra
• 0 y 1 son las bases de la aritmética por ser los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación

Una curiosidad de esta fórmula es que, si la escribimos de esta manera:

$e^{i\pi }=-1\;$

representa la evolución del concepto de número a lo largo de la historia. Desde el concepto más intuitivo, los números naturales, conocidos desde la prehistoria, añadiendo los números negativos (representados por -1) obtenemos los números enteros. Luego, añadiendo las fracciones (no aparecen) obtenemos los racionales. Después, añadiendo los irracionales (e y π) obtenemos los números reales. Y finalmente, añadiendo los números imaginarios (representados por i) obtenemos los números complejos.

Volviendo a la primera fórmula, se puede ver que también cuenta la historia de una evolución en las matemáticas, en este caso de las operaciones aritméticas. Aparecen una suma, un producto y una potencia.

Derivación

La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!$

para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si

$x=\pi \,\!$

entonces

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \,\!$

y ya que

$\cos \pi =-1\,\!$

y que

$\sin \pi =0\,\!$

se sigue que

$e^{i\pi }=-1\,\!$

Lo cual implica la identidad

$e^{i\pi }+1=0\,\!$

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Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

$x=i\pi ,\,\!$

en la expansión polinomial de e a la potencia x:

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...,\,\!$

para obtener:

$e^{i\pi }=1+i\pi +{\frac {(i\pi )^{2}}{2!}}+{\frac {(i\pi )^{3}}{3!}}+{\frac {(i\pi )^{4}}{4!}}+...,\,\!$

simplificando (usando i² = -1):

$e^{i\pi }=1+i\pi -{\frac {\pi ^{2}}{2!}}-{\frac {i\pi ^{3}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}+...,\,\!$

Al separar el lado derecho de la ecuación en subseries real e imaginarias:

$i(\pi -{\frac {\pi ^{3}}{3!}}+{\frac {\pi ^{5}}{5!}}-{\frac {\pi ^{7}}{7!}}+...)=0\quad ;\quad (1-{\frac {\pi ^{2}}{2!}}+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}-{\frac {\pi ^{6}}{6!}}+...)=-1\!$

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

$e^{i\pi }=-1\,\!$

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Euler Formula». MathWorld--A Wolfram Web Resource (en inglés). Consultado el 15 de mayo de 2009. 

Véase también

• Leonhard Euler
• Fórmula de Euler