Teorema del límite central

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, la distribución de la suma de variables aleatorias tiende a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana o curva de Gauss o campana de Gauss) cuando la cantidad de variables es muy grande.​

Teorema: Sea ${X_{1}}$, ${X_{2}}$, ..., ${X_{n}}$ una muestra aleatoria de una distribución con media μ y varianza σ². Entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoria

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

tiene aproximadamente una distribución normal con $\mu _{\bar {X}}=\mu$ y $\sigma _{\bar {X}}^{2}=\sigma ^{2}/n$.

También se cumple que si

${T_{0}}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

tiene aproximadamente una distribución normal con $\mu _{T_{0}}=n\mu$ y $\sigma _{T_{0}}^{2}=n\sigma ^{2}$, cuanto más grande sea el valor de n, mejor será la aproximación.

El teorema del límite central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande.

Existen diferentes versiones del teorema, en función de las condiciones utilizadas para asegurar la convergencia. Una de las más simples establece que es suficiente que las variables que se suman sean independientes, idénticamente distribuidas, con valor esperado y varianza finitas.

La aproximación entre las dos distribuciones es, en general, mayor en el centro de las mismas que en sus extremos o colas, motivo por el cual se prefiere el nombre "teorema del límite central" ("central" califica al límite, más que al teorema).

Este teorema, perteneciente a la teoría de la probabilidad, encuentra aplicación en muchos campos relacionados, tales como la inferencia estadística o la teoría de renovación.