Aplicación lineal

Una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal o operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa incorrectamente en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.

Codominio.

Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.

Véase también: Operador (mecánica cuántica)

Definición

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo $K$, y $T$ una función de $V$ en $W$. $T$ es una transformación lineal si para todo par de vectores $u$ y $v$ pertenecientes a $V$ y para todo escalar $k$ perteneciente a $K$, se satisface que:

1. $T(u+v)=T(u)+T(v)\,$
2. $T(ku)=kT(u)\,$ donde k es un escalar.

Ejemplos

(Aclaración: $0_{V}$ es el vector nulo del dominio y $0_{W}$ es el vector nulo del codominio)

Transformación lineal identidad

$T:V\rightarrow V\quad /\quad T(x)=x$ $\forall x\in V$

Homotecias

$T:\mathbb {K} ^{n}\rightarrow \mathbb {K} ^{n}\quad /\quad T(x)=kx$ con $k\in \mathbb {K}$

Si |k| > 1 se denominan dilataciones

Si |k| < 1 se denominan contracciones

Ver artículo sobre Homotecias

Propiedades de las transformaciones lineales

Sean $\mathbb {V}$ y $\mathbb {W}$ espacios vectoriales sobre $\mathbb {K}$ (donde $\mathbb {K}$ representa el cuerpo) se satisface que:

1. $T:V\rightarrow W/T(0_{V})=0_{W}$
2. $\forall X\in \mathbb {V} ,T:\mathbb {V} \rightarrow \mathbb {W} /T(-X)=-T(X)$
3. $\forall X\in \mathbb {V} ,T:\mathbb {V} \rightarrow \mathbb {W} /T(X-Y)=T(X)-T(Y)$
4. $\forall a,b\in \Re ;\forall X\in \mathbb {V} ,\forall Y\in \mathbb {V} \Rightarrow$ $T:\mathbb {V} \rightarrow \mathbb {W} /T(aX+bY)=a\,T(X)+bT(Y)\,$

Núcleo e imagen

Si $T:V\rightarrow W$ es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

$\operatorname {ker} (T)=\{\,x\in V:T(x)=0_{W}\,\}$

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

1. $0_{V}\in \operatorname {ker} (T)$ dado que $\operatorname {T} (0_{V})=0_{W}$
2. Dados $u,v\in \operatorname {ker} (T):T(u+v)=T(u)+T(v)=0_{W}+0_{W}=0_{W}\Rightarrow u+v\in \operatorname {ker} (T)$
3. Dados $u\in \operatorname {ker} (T)\land k\in \Re :T(ku)=kT(u)\land T(ku)=k0_{W}=0_{W}\Rightarrow ku\in \operatorname {ker} (T)$

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. $\operatorname {null} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T))$

$\operatorname {Im} (T)=\left\{w\in W:w=T(x),x\in V\right\}$

O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

$\operatorname {ran} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {Im} (T))$

Transformación Lineal Singular y No Singular

Sean $\operatorname {V}$ y $\operatorname {W}$ espacios vectoriales sobre el mismo campo $\operatorname {K}$ y $\operatorname {T}$ una transformación lineal de $\operatorname {V}$ en $\operatorname {W}$. Entonces, $\operatorname {T}$ es no singular si:

$\operatorname {N} (T)$ X $\operatorname {ker} (T)=\{0_{v}\}$

En caso contrario $\operatorname {T}$ es singular.

Teorema de las dimensiones

dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)

Demostración: Tomando los espacios isomorfos muy conocidos, $V/ker(T)$ y $Im(T)$ (la demostración que son isomorfos, es trivial), se sabe que sus dimensiones son iguales. Por definición, la dimensión de $V/ker(T)$ es: $dim(V/ker(T))=dim(V)-dim(ker(T))$ Pero como $V/ker(T)$ y $Im(T)$ son isomorfos, entonces $dim(V/ker(T))=dim(Im(T))$ reemplazando, queda: $dim(Im(T))=dim(V)-dim(ker(T)),dim(Im(T))+dim(ker(T))=dim(V)$

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

• Sea B = {v₁,v₂,v₃,...v_n} base de V y C = {w₁, w₂, w₃,...w_n} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal. $T:V\rightarrow W/T(V_{i})=W_{i},\forall 1\leq i\leq n$

Clasificación de las transformaciones lineales

1. Monomorfismo: Si $T:V\rightarrow W$ es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. $\operatorname {ker} (T)={0_{V}}$
2. Epimorfismo: Si $T:V\rightarrow W$ es sobreyectiva (exhaustiva).
3. Isomorfismo: Si $T:V\rightarrow W$ es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).

Función lineal como propiedad de los sistemas generales

Una función es lineal cuando cumple todas estas propiedades:

• Si aplicamos una entrada u₁(x) obtenemos una salida particular y₁(x)
• Si aplicamos una entrada u₂(x) obtenemos una salida particular y₂(x)
• Entonces si aplicamos u₃(x)=c₁u₁(x)+c₂u₂(x) obtenemos una salida y₃(x)=c₁y₁(x)+c₂y₂(x) para todos los pares de entradas u₁(x) y u₂(x) y para todos los pares de constantes c₁ y c₂.

Esto incluye también a las funciones lineales diferenciales.

Interpretación geométrica

Abuso del lenguaje: identificación con funciones afines

En el análisis matemático y en la geometría, se suele abusar del lenguaje y denominar función lineal de una variable real a una función matemática de la forma:

$f(x)=mx+b\,$

donde m y b con constantes. La denominación correcta de este tipo de funciones es función afín.

La razón de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda función afín $f(x)=mx+b$ tiene una función lineal asociada $f(x)=mx$. De hecho, una ecuación de la forma $y=mx+b$ se denomina ecuación lineal. Toda función afín tiene orden de crecimiento lineal, y se comporta asintóticamente como su función lineal asociada.

Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente

$y=mx+b\,$

que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.

• m es denominada la pendiente de la recta.
• b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b).

Ejemplo en el plano xy

En la figura se ven tres rectas, que corresponden a las ecuaciones afines siguientes:

$y=0,5{x}+1\ y=0,5{x}-1\ e\ y=2{x}+1$

en la primer recta el parámetro m= 1/2, esto es el crecimiento de la recta es 1/2, cuando aumentamos x en una unidad, y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 1, luego la recta corta el eje y en el punto y= 1

La ecuación:

$y=0,5{x}-1\,$

tiene el valor de la pendiente m= 1/2, igual que en el caso anterior, por eso estas dos rectas son paralelas, como el valor de b= -1, esta recta corta el eje de las y en el punto y= -1.

La tercera ecuación, es:

$y=2{x}+1\,$

la pendiente de la recta, el parámetro m= 2, indica que cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y la hace en dos unidades, el corte con el eje y, lo tiene en y= 1, dado que el valor de b= 1.

En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

$m=\tan \theta \,$

Ecuación lineal en el espacio n-dimensional

Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

$f(x,y)=a_{1}x+a_{2}y\,$

representa un plano y una función

$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}\,$

representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones y pasa por el origen de coordenadas en un espacio n-dimensional.

Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.

Hay que puntualizar que a veces (particularmente en geometría), en un ejercicio, se pide resolver un sistema de ecuaciones que tiene menos ecuaciones que incógnitas, o cuyo determinante es nulo. En estos casos habrá incógnitas para los que no podamos encontrar ningún valor concreto (es decir, que no podremos decir "cuánto valen"). En estos casos, lo que hay que hacer es despejar esas incógnitas como si supiéramos sus valores, y considerarlas como parámetros. La solución es entonces no ya un punto, sino una recta, un plano, o en general una variedad lineal en el espacio afín asociado al espacio vectorial en el que trabajemos.

Ventajas de las funciones lineales Una función lineal tiene las ventajas de representarse o caracterizarse por medio de tablas o gráficas, la variación de una variable con respecto a otra o mejor dicho la variación de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. La variable independiente puede ir acompañada por valores constantes en forma de factores o sumandos y la variable dependiente cambia conforme a como varía la variable independiente y se ve afectada por los términos constantes que le acompañen. Usando funciones lineales podemos resolver problemas de la vida diaria en forma cotidiana empleamos ésta para resolver problemas de costos, compras, traslados, cálculos de perímetros, pero sobre todo su aplicación en la vida cotidiana es en el sector empresarial en el aspecto económico o físico cuyos comportamientos se comprueban a través de las gráficas ya sean lineales creciente o decreciente.

Véase también

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Álgebra lineal
• No linealidad
• Funciones matemáticas
• Geometría analítica
• Pendiente de una recta
• Ecuación lineal