Homomorfismo

Un homomorfismo, (o a veces simplemente morfismo) desde un objeto matemático a otro de la misma categoría, es una función que es compatible con toda la estructura relevante. La noción de homomorfismo se estudia abstractamente en el álgebra universal, y ése es el punto de vista tomado en este artículo. Una noción más general de morfismo se estudia abstractamente en la teoría de las categorías. Por ejemplo, si un objeto consiste en un conjunto X con un orden < y el otro objeto consiste en un conjunto Y con orden {, entonces debe valer para la función $f:X\Longrightarrow \;Y$ que, si

u < v $\Longrightarrow \;$ f( u ) { f( v ).

O, si en estos conjuntos hay definidas operaciones binarias + y *, respectivamente, entonces debe valer que: $f(u+v)=f(u)*f(v)$. Ejemplos de morfismo son los homomorfismos de grupos, los homomorfismos de anillo, los operadores lineales, las funciones continuas, etc.

Definición

Dado dos conjuntos no vacíos A y A', y las leyes de composición interna

$+:A_{1}\rightarrow \;A$

$*:A_{2}\rightarrow \;A'$

La función $f:A\rightarrow \;A'$ es un homomorfismo respecto de + y * sí y solo si la imagen de la composición en A es igual a la composición de las imágenes en A'. Es decir:

$f:A\rightarrow \;A'$ es homomorfismo respecto de + y * $\Longleftrightarrow \;f(a+b)=f(a)*f(b),\forall \;a,b\in \;A$

Cualquier homomorfismo f: X --> Y define una relación de equivalencia ~ en X como a ~ b si y solo si f(a) = f(b). En el caso general, este ~ se llama núcleo de f. Al conjunto cociente X/~ se le puede entonces dar una estructura de una manera natural, v.g., [x] * [y] = [x] * [y]. En ese caso la imagen de X en Y bajo el homomorfismo f es necesariamente isomorfa a X/~; este hecho es uno de los teoremas de isomorfía. Nótese que en algunos casos (v.g. grupos o anillos), una sola clase de equivalencia K es suficiente para especificar la estructura del cociente, así que escribimos X/K.

También en estos casos, es K, más bien que ~, el que es llamado el núcleo de f.

Variantes y subclases de homomorfismo

• Un homomorfismo que es también una biyección, tal que su inversa es también un homomorfismo, se llama isomorfismo; dos objetos isomorfos son totalmente indistinguibles por lo que a la estructura en cuestión se refiere.

• Un homomorfismo de un conjunto a sí mismo se llama endomorfismo, y si es también un isomorfismo se llama automorfismo.

• Un homomorfismo que es suprayectivo o exhaustivo se llama epimorfismo.

• Un homomorfismo que es inyectivo se llama monomorfismo.

(Los términos antedichos se utilizan semejantemente en la teoría de las categorías así como en el álgebra universal, solo que las definiciones en la teoría de las categorías son más sutiles; vea el artículo sobre morfismo para esto.)

• Un homeomorfismo preserva las características topológicas, y son ciertamente una clase de isomorfismo.

• Un difeomorfismo preserva las características topológicas y diferenciales, y son realmente una clase de isomorfismo.

(Los términos antedichos realmente no pertenecen al lenguaje del álgebra universal, solamente se enumeran aquí de todos modos en caso de que usted los esté buscando. En particular, observe que "homeomorfismo" no significa en modo alguno la misma cosa que "homomorfismo".)

Referencias

• Knowledgerush (en inglés)