Teorema de la bisectriz

El teorema de la bisectriz del ángulo interno de un triángulo es un teorema de la geometría elemental que es una consecuencia o corolario del Teorema de Tales.

En un triángulo, la razón entre dos lados es igual a la razón de las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz de ángulo interno opuesto.

O lo que es equivalente:

Dado el triángulo ABC, sea AL la bisectriz del ángulo interno A, entonces se cumple la proporción: $\scriptstyle BA:AC=BL:LC$

Demostración

Dibujese desde C una línea paralela a la recta AL hasta encontrar la prolongación de lado BA a partir del lado A y encontrándose en el punto D. El triángulo ACD es isósceles porque sus ángulos C y D son congruentes:

$\scriptstyle A{\widehat {C}}D=C{\widehat {A}}L$

porque los dos ángulos son alternos internos respecto a las rectas paralelas AL y DC cortadas por la recta transversal AC

$\scriptstyle A{\widehat {D}}C=B{\widehat {A}}L$

porque son correspondientes a las rectas paralelas AL y DC a las cuales corta la recta BD,

además

$\scriptstyle C{\widehat {A}}L=B{\widehat {A}}L$

porque los ángulos creados por la bisectriz son iguales.

Por la propiedad transitiva de la igualdad tenemos que

$\scriptstyle A{\widehat {D}}C=A{\widehat {C}}D$

Por tanto los segmentos AC y AD son congruentes. Por el Teorema de Tales se mantiene la proporción:

$\scriptstyle BA:AD=BL:LC$

y ya que AC y AD son congruentes, también se cumple que

$\scriptstyle BA:AC=BL:LC$

Demostración 2

Los triángulos ABL y ACL comparten altura, por tanto se cumple que:

$\scriptstyle (ABL)/(ACL)=BL/CL$

Sean D y E los pies de altura de los triángulos ABL y ACL en AB y AC respectivamente.

EL ángulo BAL es congruente con el ángulo CAL, por ser AL bisectriz.

Los ángulos ADL y AEL son iguales a 90° y congruentes entre si, pues así los trazamos.

Por tanto, los ángulos ALD y ALE son congruentes.

Entonces los triángulos ADL y AEL son congruentes, por el criterio ALA, pues además comparten el lado AL.

De aquí obtenemos que:

$\scriptstyle DL=EL$

Pero DL y EL son alturas de los triángulos ABL y ACL respectivamente. Entonces obtenemos que la razón entre sus áreas es igual a la razón entre sus bases, o lo que es lo mismo:

$\scriptstyle (ABL)/(ACL)=AB/AC$

Por transitividad con lo que habíamos dicho, tenemos que:

$\scriptstyle AB/AC=BL/CL$

Demostración 3

Sea $\scriptstyle B{\widehat {A}}L=C{\widehat {A}}L=a$ y sea $\scriptstyle A{\widehat {L}}B=x$.

Entonces $\scriptstyle A{\widehat {L}}C=180-x$.

Considerando el triángulo ABL, por la ley de senos obtenemos que $\scriptstyle BL/sen(a)=AB/sen(x)$ y considerando el triángulo ACL obtenemos que $\scriptstyle CL/sen(a)=AC/sen(180-x)$

Pero tenemos la siguiente identidad:

$\scriptstyle sen(Z)=sen(180-Z)$

Entonces nos queda que $\scriptstyle CL/sen(a)=AC/sen(x)$

Dividimos las dos igualdades y obtenemos que:

$\scriptstyle sen(a)*CL/sen(a)*BL=AC*sen(x)/AB*sen(x)$

Simplificando:

$\scriptstyle AC/AB=CL/BL$