Teorema del binomio

En matemáticas, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece:

El coeficiente de $x^{k}y^{n-k}$ en el desarrollo de $(x+y)^{n}$ es ${n \choose k}$

donde ${n \choose k}$ recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}xy^{n-1}+{n \choose n}y^{n}.$

Usando la fórmula para calcular el valor de ${n \choose k}$ (que también es representado ocasionalmente como $C(n,k)$ o $C_{k}^{n}$) se obtiene una tercera representación:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}x^{n-k}y^{k}.$

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:

(2)${\begin{cases}(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\\(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\\(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\end{cases}}$

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

$(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,$

Teorema generalizado del binomio (Newton)

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3)${(x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}}$

Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

${r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-k+1)}{k!}}$

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

${\frac {1}{(1-x)^{r}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{r+k-1 \choose r-1}x^{k}.$

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

Historia

Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000.

Véase también

• Binomio
• Newton