Límite (matemática)

En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que en una sucesión o una función, al hablar de límite, decimos que tiene uno si se puede acercar a un cierto número (o sea, el límite) tanto como queramos.

Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas.

Límite de una función

Término épsilon delta

Informalmente, decimos que el límite de la función $f(x)$ es $L$ cuando $x$ tiende a $p$, y escribimos

$\lim _{x\to p}\,\,f(x)=L$

si se puede encontrar $x\,$ suficientemente cerca de $p\,$ tal que $f(x)\,$ es tal que decimos que:

$f(x)\to L\Longleftrightarrow \forall \epsilon >0$ $\exists \delta >0:0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon .$

Esta definición se llama frecuentemente la definición épsilon-delta del límite.

Indeterminaciones

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas:

[$\infty$ refiere al límite a infinito y $0$ al límite a 0 (no al número 0)]

$\infty -\infty$

${\frac {\infty }{\infty }}$

$\infty \cdot 0$

${\frac {0}{0}}$

$\infty ^{0}$

$1^{\infty }$

$0^{0}\,$

Un ejemplo ${\frac {0}{0}}$ es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes: $\lim _{t\rightarrow 0}t/t^{2}=\infty$, $\lim _{t\rightarrow 0}t/t=1$, $\lim _{t\rightarrow 0}t^{2}/t=0$,

Límites notables

Los límites notables son 3, los cuales resultan evidentes en dos casos al definir donde se encuentra acotada la variable $x$ al desarrollar y usando el Binomio de Newton en el tercer caso es posible determinar el valor de estos límites;

${\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}=\,e$

${\lim _{x\to 0}\left({\frac {\sin x}{x}}\right)}=\,1$ (al igual que su recíproca)

${\lim _{x\to 0}\left({\frac {\tan x}{x}}\right)}=\,1$ (al igual que su recíproca)

Demostración de límites notables

Archivo:Graflimsen.JPG

Buscamos que la $x$ se encuentra acotada con el gráfico entre las funciones seno y tangente por lo que resulta evidente saber que:

$sin(x)$ < x < tg (x), bien respetando este postulado dividimos por $sin(x)$ de manera que:

de la misma manera demostramos el segundo límite y el tercero desarrollando el Binomio de Newton y aplicando el límite de $\lim _{x\to \infty }$ nos termina dando como resultado el número e (constante de Neper).

Para comprender de forma práctica el Binomio de Newton invito al lector a ver el siguiente video: Binomio de Newton video.

Límite de una sucesión

Definición

$a_{n}={\begin{cases}16&{\mbox{si }}n=0\\{\cfrac {a_{n-1}}{2}}&{\mbox{si }}n>0\end{cases}}$

La definición del límite matematico en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando $x$ va a $\infty$. Decimos que la sucesión $a_{n}$ tiende hasta su límite $a$, o que converge o es convergente (a $a$), y escribimos

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$

si podemos encontrar un número $N$ tal que todos los términos de la sucesión a $a$ cuando $n$ crece sin cota. Más precisamente:

$a_{n}\to a\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon >0,\exists N>0:\forall n\geq N,|a_{n}-a|<\epsilon$

Propiedades de los límites

$\lim _{x\to p}x=\,p\,$

$\lim _{x\to p}kf(x)=\,k\lim _{x\to p}f(x)\,$

$\lim _{x\to p}(f(x)+g(x))=\,\lim _{x\to p}f(x)+\lim _{x\to p}g(x)\,$

$\lim _{x\to p}(f(x)-g(x))=\,\lim _{x\to p}f(x)-\lim _{x\to p}g(x)\,$

$\lim _{x\to p}(f(x)\cdot g(x))=\,\lim _{x\to p}f(x)\cdot \lim _{x\to p}g(x)\,$

$\lim _{x\to p}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\,{\frac {\lim _{x\to p}f(x)}{\lim _{x\to p}g(x)}}\,\ si\ g(x)\neq 0$

${\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}}=\,e$

${\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}=\,e$

${\lim _{x\to \infty }x\;\sin \left({\frac {2\pi }{x}}\right)\cos \left({\frac {2\pi }{x}}\right)}=\,2\pi$

${\lim _{x\to 0}\left({\frac {\sin x}{x}}\right)}=\,1$ (al igual que su recíproca)

${\lim _{x\to 0}\left({\frac {\tan x}{x}}\right)}=\,1$ (al igual que su recíproca)

${\lim _{x\to 0}\left({\frac {\sin x}{\tan x}}\right)}=\,1$ (al igual que su recíproca)

${\lim _{x\to 0}{\frac {1-cos(x)}{x}}}=\,0$

Enlaces externos

• Límites de funciones. Introducción
• Introducción al Cálculo de Límites (vídeo)