Trinomio

Un trinomio cuadrado perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

Todo trinomio de la forma:

$a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$

es un trinomio cuadrado perfecto ya que

$(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=\,\!$

$=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$

Siendo la regla: El cuadrado del primero mas el doble del primer por el segundo termino mas el cuadrado del segundo termino. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

1. El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable.
2. Dos de los términos son cuadrados perfectos.
3. El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás.

Un trinomio cuadrático general de la forma ax²+bx+c es un TCP si se cumple que el discriminante es cero, es decir, que la cantidad b²-4ac es siempre igual a 0.

También se considera un trinomio cuadrado perfecto de la forma:

$a^{2}-2ab+b^{2}\,\!$

Donde las mismas reglas explicadas anteriormente aplican.

Ejemplos

Sea:

$12xy+9x^{2}+4y^{2}\,\!$

Tenemos que ordenarlo respecto de $x\,\!$ resulta en:

$9x^{2}+12xy+4y^{2}\,\!$

ahora tenemos que

$9x^{2}=(3^{2})(x^{2})=(3x)^{2}\,\!$

y

$4y^{2}=(2y)^{2}\,\!$

además

$12xy=2(3x)(2y)\,\!$

por lo que la expresión es un trinomio cuadrado perfecto:

$12xy+9x^{2}+4y^{2}=(3x+2y)^{2}\,\!$

Sea:

${\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}+w^{2}+wy^{2}z\,\!$

Ordenando respecto a la variable de mayor potencia ($y$) tenemos:

${\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}+wy^{2}z+w^{2}\,\!$

evaluando el trinomio vemos que:

${\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}=({\frac {1}{2}}y^{2}z)^{2}\,\!$

y

$w^{2}=(w)^{2}\,\!$

por último vemos que

$2({\frac {1}{2}}y^{2}z)(w)=wy^{2}z\,\!$

Entonces la expresión es un trinomio cuadrado perfecto.

Enlaces externos

• Trinomio cuadrado perfecto