Anexo:Derivada de la función logarítmica y la función exponencial.

A continuación vamos a demostrar las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Derivada de la función logarítmica

Tenemos una función $\,f(x)=\log _{a}x$, por la definición de derivada:

${\frac {d}{dx}}\log _{a}x=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}x}{h}}$

Por las propiedades de los logaritmos tenemos que:

${\frac {d}{dx}}\log _{a}x=\lim _{h\to 0}\log _{a}\left({\frac {x+h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}=\lim _{h\to 0}\log _{a}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}$

Que podemos trasformar en:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}\log _{a}\left[\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}\right]^{\frac {1}{x}}\\&={\frac {1}{x}}\lim _{h\to 0}\log _{a}\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}\right]\end{aligned}}$

Como si $\,h$ tiende a cero ${\frac {x}{h}}\,$ tiende a infinito, podemos hacer el siguiente cambio de variable:

$\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}=\lim _{y\to \infty }\left(1+{\frac {1}{y}}\right)^{y}$

Y por la definición del número e, tenemos que:

${\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x}}\log _{a}(e)$

O, lo que es lo mismo:

${\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x\ln(a)}}$

En el caso particular del logaritmo natural:

${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}$

Ya que $\,\ln e=1$.

Derivada de la función exponencial

Partimos de una función exponencial $\,f(x)=a^{x}$. Vamos a usar la derivada de la función inversa:

$[f^{-1}]^{\prime }(a)={\frac {1}{f^{\prime }[f^{-1}(a)]}}$

Dado que $a^{x}\,$ y $\log _{a}x\,$ són funciones inversas, tenemos que:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&={\frac {1}{[{\frac {1}{x}}\log _{a}(e)]\circ [a^{x}]}}\\&={\frac {1}{[{\frac {1}{a^{x}}}\log _{a}(e)]}}\\&={\frac {a^{x}}{\log _{a}(e)}}\end{aligned}}$

O lo que es lo mismo:

${\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln a$

En el caso concreto que $\,a=e$, tenemos que:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

Ya que $\,\ln e=1$.