Cuadrado perfecto

Un número cuadrado perfecto en matemáticas, o un número cuadrado, es un número cuya raíz cuadrada es un número entero.

Por ejemplo, 9 es un número cuadrado perfecto ya que puede ser escrito como 3 × 3.

32 = 9

Un número entero positivo que no tiene divisores cuadrados (excepto el 1) se denomina número libre de cuadrados.

Propiedades

El número m es un cuadrado perfecto si se pueden «ordenar» sus puntos en una figura cuadrada:

La fórmula más general para el n-ésimo número cuadrado es n². Este resultado es también igual a la suma de los primeros n números impares, tal y como puede verse en

$n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)$

como puede ser visto en las ilustraciones superiores, donde un cuadrado resulta de los anteriores mediante la adicción de un número impar de puntos (marcado con una '+'). De esta forma, por ejemplo se tiene que: 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

El teorema de cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo puede ser escrito como la suma de cuatro perfectos cuadrados. Tres cuadrados no son suficientes para ser representados como números de la forma 4^k(8m + 7). Un número positivo puede ser representado como una suma de dos cuadrados precisamente si la factorización en números primos no contiene potencias impares de la forma 4k + 3. Esta es una generalización del problema de Waring.

Un número cuadrado puede ser terminado en los dígitos 00,1,4,6,9, o 25 en base 10, como sigue:

1. Si el último dígito de un número es 0, su cuadrado acaba en 00 y los precedente dígitos deben ser también un cuadrado.
2. Si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado acaba en 1 y el número formado por su precedente debe ser divisible por cuatro.
3. Si el último dígito de un número es 2 u 8, su cuadrado acaba en 4 y el precedente dígito debe ser un número par.
4. Si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado acaba en el dígito 9 y el número formado por su precedentes dígitos debe ser divisible entre cuatro.
5. Si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado acaba en 6 y el precedente dígito debe ser impar.
6. Si el último dígito de un número es 5, su cuadrado acaba en 25 y los precedentes dígitos deben ser 0, 2, 06, o 56.

Ejemplos

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25

Los primeros 50 cuadrados perfectos son:

0² = 0 ((sucesión A000290 en OEIS))

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

Cuadrados como sumas

El n-ésimo número cuadrado puede ser calculado del resultado obtenido en las dos anteriores posiciones y al que se le añade el (n − 1)-ésimo cuadrado de sí mismo, sustrayendo el (n − 2)-enésimo cuadrado, y añadiendo 2 ($n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2$). Por ejemplo, 2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6².

Es a menudo útil notar que el cuadrado de cualquier número puede ser representado como la suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + n − 1 + n − 1 + n. Por ejemplo, el cuadrado de 4 o 4² es igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este es el resultado de añadir una columna y columna de grosor uno al grafo cuadrado de lado tres (como en un tablero de tres en raya). Se puede añadir también tres lados y cuatro a la parte superior para obtener un cuadrado. Esto puede ser también útil para encontrar el cuadrado de un número grande de forma inmediata. Por ejemplo, el cuadrado de 52 = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

Un número cuadrado puede ser considerado también como la suma de dos consecutivos números triangulares. La suma de dos consecutivos números cuadrados es un número cuadrado centrado. Cada cuadrado impar es además un número octogonal centrado.

Números cuadrados impares y pares

Los cuadrados de números pares, desde (2n)² = 4n².

Los cuadrados de números impares desde (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

De esto se sigue que las raíces cuadradas de los cuadrados de los números pares son pares, y las raíces cuadradas de los números impares son igualmente impares. Este hecho se emplea mucho en las demostraciones (Véase raíz cuadrada de 2).

Teorema de Chen

Chen Jingrun demostró en 1975 que siempre existe un número p, que es o bien primo o bien producto de dos primos, entre n² y (n + 1)².

Véase también

• Conjetura de Legendre
• Paradoja de Galileo

Referencias

• Weisstein, Eric W. Square Number From MathWorld

Bibliografía

• Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X

Enlaces externos

• Alpertron.com.ar Un applet JAVA que descompone un número natural en la suma de cuatro cuadrados.