Entero libre de cuadrados

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Un número entero n es libre de cuadrados si no existe un número primo p tal que p2 divide a n. Esto quiere decir que los factores primos de n son todos distintos, luego

 n = p_1 p_2 \cdots p_k = \prod_{i\in\{1,\cdots,k\}\atop p \text{ primo}}p_i

De esta forma, 10=2·5 es libre de cuadrados, pero 20=22·5 no lo es, porque es divisible por un cuadrado. Los primeros enteros libres de cuadrados son:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... (sucesión A005117 en OEIS)

Función generadora de Dirichlet[editar]

Si q(n)=1, donde n es un entero que no contiene ningún cuadrado en su factorización y q(n)=0 donde n contiene uno o más cuadrados en su factorización, la función q(n) viene definida como q(n)=|\mu(n)|, siendo μ(n) la función de Möbius. Entonces, la función generadora de Dirichlet para los enteros libres de cuadrados es

 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q(n)}{n^{s}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\mu(n)|}{n^{s}} =\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s) }

donde ζ(s) es la función zeta de Riemann. Esto puede ser visto fácilmente del producto de Euler

  \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s) } =\prod_p \frac{(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}=\prod_p (1+p^{-s}).

Distribución de los números libres de cuadrados[editar]

Si Q(x) indica el número de números libres de cuadrados menores o iguales que x, entonces

Q(x) = \frac{6x}{\pi^2} + O(\sqrt{x})

(véase π).
La densidad de los números libres de cuadrados es, por tanto,

\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\pi^2}

Referencias[editar]

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