Forma cuadrática

Una forma cuadrática es una aplicación $\omega$ del espacio vectorial E en el cuerpo K, que cumple las siguientes condiciones equivalentes:

a) Existe una forma bilineal simétrica f de $E\times E$ en el cuerpo K tal que $\omega (x)=f(x,x)$. A f se le llama forma polar de $\omega$.

b) $\omega (lx)=l^{2}\omega (x)$, $\forall l\in K,\forall x\in E$. Además $f(x,y)=(\omega (x+y)-\omega (x)-\omega (y))/2$ es una forma bilineal simétrica definida en $E\times E$ y con valores en K. A $\omega$ se la llama forma cuadrática asociada a f.

Una forma cuadrática es por tanto un aplicación $f(x,x)=x\ B\ x$ que es un polinomio de segundo grado con varias variables. Se le puede considerar un caso específico de forma bilineal.

Propiedades y ejemplos

• Cuando $K=\mathbb {R}$ se dice que la forma cuadrática es real.
• Dos formas cuadráticas pueden ser:
  • Linealmente equivalentes en $\mathbb {R}$ si las signaturas de ambas formas cuadráticas coinciden.
  • Linealmente equivalentes en $\mathbb {C}$ si los rangos de las matrices de las formas cuadráticas coinciden.
  • Métricamente equivalentes si poseen el mismo polinomio característico.
• Una forma cuadrática define un espacio vectorial euclídeo si y sólo si es definida positiva, lo cual se puede comprobar utilizando el criterio de Sylvester.

Signatura

La signatura de una forma cuadrática q:V-->R se llama al par (p,m) donde p es el número de elementos positivos que posee la diagonal de la matriz diagonal asociada a q, y m los negativos. Se designa sg (q) y se verifica:

                  p + m = rg (q)