Espacio vectorial normado

En matemática un espacio vectorial se dice que es normado si en él se puede definir una norma vectorial. Podemos señalar los siguientes hechos que ayudan a comprender la importancia del concepto de espacio normado:

• En un espacio euclídeo, la norma coincide precisamente con la longitud del vector.
• Todo espacio vectorial normado es un espacio métrico con la distancia inducida por la norma.
• Si el espacio vectorial es además completo se dice que es un espacio de Banach.

Definición

Un espacio vectorial V sobre un cuerpo $\mathbb {K}$ en el que se define un valor absoluto (generalmente $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$ ) se dice que es normado si en él se puede definir una norma, es decir, una aplicación $||.||:V\rightarrow \mathbb {R}$, que verifica:

1. No negatividad. Para todo ${\vec {x}}$ de $\mathbf {V}$ su norma ha de ser positiva, y será cero si y sólo si ${\vec {x}}$ es el vector cero: $0<||{\vec {x}}||$ si ${\vec {x}}\neq {\vec {0}}$ y $||{\vec {x}}||=0\Longleftrightarrow {\vec {x}}={\vec {0}}$.
2. Homogeneidad. Para todo ${\vec {x}}$ de $\mathbf {V}$ y para todo k de $\mathbb {K}$ se satisface que $||k{\vec {x}}||=|k|$ · $||{\vec {x}}||$ donde | | es el módulo o valor absoluto.
3. Desigualdad triangular. Para todos ${\vec {x}}$ e ${\vec {y}}$ de $\mathbf {V}$ se cumple que $||{\vec {x}}+{\vec {y}}||\leq ||{\vec {x}}||+||{\vec {y}}||$.

Generalmente se denotará a $(V,||)$ al espacio vectorial normado y cuando la norma sea clara simplemente por $V$.

Ejemplos

De dimensión finita

• $\mathbb {R}$
• El espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n}$ .
• Las matrices cuadradas de orden n sobre $\mathbb {R}$: $M_{n}\left(\mathbb {R} \right)$

Distancia inducida

En todo espacio vectorial normado se puede definir la distancia $d:V\rightarrow V$:

$d(x,y):=||x-y||$

con la cual (V,d) es un espacio métrico.

Espacios vectoriales normados de dimensión finita

Se cumplen los siguientes resultados (que generalmente no son ciertos para espacios de dimensión infinita):

• Todas las normas definidas en el espacio son equivalentes, es decir, definen la misma topología. La convergencia o divergencia de una sucesión no depende de la norma escogida. El resultado no es cierto para espacios de dimensión infinita siendo siempre posible encontrar dos normas que no son equivalentes.
• El espacio es completo, es decir, es un espacio de Banach. Como consecuencia, todo subespacio de dimensión finita de un espacio vectorial (no necesariamente de dimensión finita) es cerrado.
• Un espacio vectorial normado es de dimensión finita si y sólo si la bola unidad es compacta.
• Todo funcional lineal es continuo. Si el espacio tiene dimensión infinita, existen funcionales lineales no continuos.
• Teorema de Heine-Borel o teorema de Borel-Lebesgue. Un subconjunto del espacio vectorial es compacto si y solo si es cerrado y acotado.