Matriz invertible

En matemáticas, y especialmente en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A⁻¹, tal que

AA⁻¹ = A⁻¹A = I_n,

donde I_n es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Propiedades de la matriz inversa

• La inversa de una matriz, si existe, es única.
• La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

$\left(B\cdot A\right)^{-1}={A}^{-1}\cdot {B}^{-1}$

• Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

$\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$

• Y, evidentemente:

$\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$

• Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

${A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\ adj(A)^{T}\$

donde ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}$ es el determinante de A y $\ adj{(A)}\$ es la matriz de adjuntos de A.

Demostración de la unicidad de la inversa

Supongamos que B y C son inversas de A

$AB=BA=I$

$AC=CA=I$

Multiplicando por C

$(BA)C=IC=C$

$(BA)C=B(AC)=BI=B$

De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.

Demostración del criterio de inversibilidad de las matrices cuadradas

Se probará la doble implicación.

Necesidad $(\Rightarrow )$

Suponiendo que existe $B$ tal que $AB=BA=I$. Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

$\det \left(AB\right)=\det \left(BA\right)=\det \left(I\right)$

usando la propiedad $\det(I)=1$

$\det \left(A\right)\det \left(B\right)=1$

Por lo tanto, $\det(A)$ es distinto de cero.

$\det \left(A\right)\neq 0$

Suficiencia $(\Leftarrow )$

Suponiendo que el determinate de $A$ es distinto de cero, sea $a_{ij}$ es el elemento ij de la matriz $A$ y sea $A_{ij}$ la matriz $A$ sin la fila $i$ y la columna $j$ (comúnmente conocida como $j$-ésimo menor de A). Entonces

$\det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij})$

Sea $k\neq j$, entonces

$\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0$

Esta afirmación es válida propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación nos conduce a una matriz con la columna $j$ igual a la columna $k$ y los demás términos iguales a los de $A$. Entonces

$\delta _{jk}\det \left(A\right)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\det \left(A_{ij}\right)a_{ik}$

donde $\delta _{jk}=1$ cuando $j=k$ y $\delta _{jk}=0$ cuando $j\neq k$. Entonces

$\det \left(A\right)I=\left({\mbox{adj}}(A)\right)^{t}A$

Es decir que $A$ tiene inversa izquierda

${\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{t}}{\det \left(A\right)}}$

Como $\left({\text{adj}}(A)\right)^{t}={\text{adj}}\left(A^{t}\right)$, entonces $A^{t}$ también tiene inversa izquierda que es

${\frac {\left({\text{adj}}(A^{t})\right)^{t}}{\det \left(A^{t}\right)}}={\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}$

Entonces

${\frac {{\text{adj}}(A)}{\det \left(A\right)}}A^{t}=I$

luego, aplicando la transpuesta

$A{\frac {\left({\text{adj}}(A)\right)^{t}}{\det \left(A\right)}}=I$

Que es lo que se quería demostrar

Métodos de inversión de matrices

Solución analítica

Inversión de matrices 2×2

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera: ​

$\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.$

Esto es posible siempre y cuando ad - bc, el determinante de la matriz, no sea cero.

Inversión de matrices de órdenes superiores

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

${A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\ adj(A^{t})\$

donde ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}$ es el determinante de A y $\ adj{(A)}\$ es la matriz de adjuntos de A

Métodos numéricos

El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir.

Enlaces externos

• Online Inverse Matrix Calculator using AJAX