Subbase

JUAN CAMILO

Voy a hacer énfasis en un personaje no tan viral llamado Juan Camilo

2. Historia de Juan Camilo ( real )

. Juan Camilo fue una foto que no encontramos un día en el colegio con mi grupo de amigos llamados les insanx ( más específicamente encontré dicha imagen con mi buen amigo arándano , está historia puede ser algo controversial, debido a la forma en que encontré esta foto.Todo comenzó el día en que yo y arándano estábamos buscando una silla la cual catalogamos como un dios al cual rendir culto , en ese preciso momento encontramos en la profundidad un block de hojas din A4 al abrís ese block pudimos apreciar la foto de un infante catalogado como " Juan Camilo " nosotros quedamos exuberantes tras dicho hallazgo tan repentino, entonces , dijimos que Juan Camilo será nuestro nuevo dios que está en el cielo ya que pensamos que el podrá llegar a estar muerto

2. Historia de Juan Camilo ( falsa )

. Juan Camilo fue hijo de Carmen Ayala y Pablo Pedro Enrique Victoria Secrets, siempre cuidado en las mejores manos posibles, a él nunca le llegó a faltar nada ya que sus padres le dieron todo lo necesario, él siempre se llevó bien con sus seres queridos a tal punto de que no se imaginaban una vida sin el hasta que un día llegó las FARC a su vivienda llevándolo muy lejos de su humilde morada lo que entristeció enormemente a todos sus amigos y familiares, días después a sus padres les llegó la peor noticia que se podían imaginar , exactamente , Juan Camilo perdió la vida en esos grupos paramilitares, todos sus conocidos con el alma rota velaron la única foto que tenían de Juan Camilo y siempre lo recordarán como la persona amable, humilde y feliz que fue

Explícitamente, dado un punto x en un conjunto abierto propio U (vecindad de x) existen varios conjuntos finitos S₁, …, S_n de B, tales que la intersección de estos conjuntos contiene a x y esta contenida en U.

(Note que si usamos la definición de intersección no vacía, entonces no es necesario incluir X en la segunda definición.)

Para alguna subcolección S del conjunto de partes P(X), existe una única topología que tiene a S como una subbase. En particular, la intersección de todas las topologías en X que contiene a S, satisface esta condición. En general, no siempre existe una única subbase para una topología dada.

Por lo tanto, podemos comenzar con la topología fija y encontrar subbases para dicha topología, y podemos también comenzar con una subcolección arbitraria del conjunto de partes P(X) y formar la topología generada por esa subcolección. Podemos libremente usar cualquiera de las definiciones equivalentes dadas anteriormente; ciertamente en muchos casos, una de las dos condiciones es más útil que la otra.

Definición alternativa

Algunas veces, una definición levemente diferente de subbase es dada, la cual requiere que la subbase B recubra a X. En este caso, X es un conjunto abierto en la topología generada porque es la unión de todos los {B_i} mientras B_i varia sobre B. Esto significa, que no pueden existir confusiones referentes al uso de la intersección no vacía, en la definición.

Sin embargo, con esta definición, las dos definiciones anteriores, no siempre son equivalentes. En otras palabras, existen espacio X con topología T, tales que existe una subcolección B de T, tal que T es la topología más pequeña que contiene a B, donde B no cubre a X todavía. En la práctica, es una rara ocurrecia; una subbase de un espacio que satisface el T₁ debe ser una cobertura de este espacio.

Ejemplos

La topología usual en los números reales R tiene una subbase formada por todos los intervalos abiertos semi-infinitos de la forma $(-\infty ,a)$ o de la forma $(b,\infty )$ donde a y b son números reales. Juntos generan la topología usual desde las intersecciones $(a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )$ para a < b. Una segunda subbase es formada tomando la subfamilia donde a y b son racionales. Esta segunda subbase también genera la topología usual, ya que los intervalos abiertos (a,b) con a, b racionales forman una base para la topología usual Euclidiana.

La subbase formada por todos los intervalos abiertos semi-infinitos de la forma $(-\infty ,a)$, donde a es un número real, no genera la topología usual. La topología resultante no satisface el axioma T₁ de separación, que hable de que todos los conjuntos abiertos que tiene una intersección no vacía.

La topología inicial definida por la familia de funciones f_i : X → Y_i, donde cada Y_i tiene una topología, es la topología más gruesa en X, tal que cada f_i es continua; ya que la continuidad puede ser definida por las imágenes inversas de los conjuntos abiertos; esto significa que la topología más débil en X es dada tomando todas las f_i⁻¹(U_i), donde U_i varia en todo el conjunto abierto de Y_i, como una subbase.

Dos casos especiales muy importantes de la topología inicial son la topología producto, donde la familia de funciones es el conjunto de proyecciones desde el producto a cada factor, y el subespacio topológico, donde la familia consta de solo una función, la función de inclusión.

La topología compacta abierta, en el espacio de funciones continuas de X a Y tiene por una subbase el conjunto de funciones

$V(K,U)=\{f\colon X\to Y\mid f(K)\subset U\}$

donde K es un espacio compacto y U es abierto en Y.

Resultados

El Lema de la Subbase de Alexander dice:

Sea $X$ un espacio topológico y ${\cal {S}}$ una subbase para la topología de $X$. Supongamos que para cada colección de subbásicos que cubren a $X$ existe una subcolección finita que cubre a $X$. Entonces $X$ es compacto.

Demostración: Supóngase que $X$ no es compacto. Entonces existe ${\cal {C}}$ cubierta abierta (de conjuntos básicos) que no tiene una subcubierta finita.

Construyamos la familia ${\cal {F}}=\{{\mbox{las cubiertas abiertas de}}\ X\ {\mbox{que no tienen subcubiertas finitas}}\}.$ Este conjunto está parcialmente ordenado y cada subcolección de ésta que este totalmente ordenada tiene una cota superior. Entonces, por el Lema de Zorn, $\exists {\cal {{C}\in {\cal {F}}}}$ una cubierta maximal, y esto implica que ${\cal {C}}$ es una cubierta abierta de básicos que no tiene subcubierta finita.

Sea $U_{\alpha }\in {\cal {C}}$ básico, entonces $\exists S_{\alpha _{1}},...,S_{\alpha _{r}}$ subbásicos tales que $U_{\alpha }=S_{\alpha _{1}}\cap \cdots \cap S_{\alpha _{r}}$.

Afirmamos que al menos uno de los $S_{\alpha _{i}}\in {\cal {C}}$. Para probar esto supongamos que todos los $S_{\alpha _{1}},...,S_{\alpha _{r}}\not \in {\cal {C}}$.

Si cada $S_{\alpha _{i}}\not \in {\cal {{C},\forall \alpha _{r}}}$, entonces: ${\cal {{C}\cup \{S_{\alpha _{i}}\}\not \in {\cal {F}}}}$, y así se tiene que hay una subcubierta finita que cubre a $X$ y lo anterior implica que cubre a $X\smallsetminus S_{\alpha _{i}}$ con finitos elementos de ${\cal {{C}\cup \{S_{\alpha _{i}}\}}}$, en otras palabras, $X\smallsetminus S_{\alpha _{i}}$ se cubre con finitos elementos de ${\cal {C}}$.

Pero

$X\smallsetminus U_{\alpha }=(X\smallsetminus S_{\alpha _{1}})\cup \cdots \cup (X\smallsetminus S_{\alpha _{r}})$.

Si cada $X\smallsetminus S_{\alpha _{i}}$ se cubre con finitos elementos de ${\cal {C}}$ entonces $X\smallsetminus U_{\alpha }$ también y como $X=(X\smallsetminus U_{\alpha })\cup U_{\alpha }$ entonces $X$ sería cubierto con finitos elementos de ${\cal {C}}$, lo cual es una contradicción.

Ahora, si para cada $U_{\beta }\in {\cal {C}}$ existe un subbásico $S_{\beta }$ con $U_{\beta }\subseteq S_{\beta }$, luego $X$ también tiene una cubierta de subbásicos para $X$. Por hipótesis tenemos finitos subbásicos para cubrir a $X$, lo que implica que hay finitos básicos $U_{\alpha }$ para cubrir a $X$, lo cual contradice la elección de ${\cal {C}}$. Entonces la familia ${\cal {F}}$ es vacía y la suposición de que $X$ no es compacta es falsa, por lo tanto $X$ es compacto. $\Box$

Este lema permite una demostración del Teorema de Tíjonov.

Referencias

• Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.

• Datos: Q2739990