Espacio de caminos

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El espacio de caminos de un espacio topológico con punto base (X,x_0) es un objeto fundamental en topología algebraica y en teoría de la homotopía, especialmente desde los resultados de J.P. Serre. En este artículo citamos las propiedades básicas de este espacio topológico y del espacio de lazos asociado.

Definición[editar]

Sea (X,x_0) un espacio topológico con x_0\in X punto base. Los caminos del espacio X son aplicaciones continuas de [0,1] en X; en la categoría de espacios con punto base los caminos del espacio (X,x_0) son aplicaciones continuas ([0,1],0), luego la imagen de 0\in[0,1] debe ser x_0\in X. El espacio de caminos de (X,x_0) es el conjunto

\mathcal{P}(X):=\{\sigma:[0,1]\longrightarrow X\mbox{ aplicación contínua}|\sigma(0)=x_0\}

dotado de la topología compacto-abierta. Existe una aplicación \pi:\mathcal{P}(X)\longrightarrow X enviando cada camino al punto final, i.e. \pi(\sigma)=\sigma(1).

La fibra de esta aplicación es homotópica al espacio de lazos \Omega X=\{\sigma:[0,1]\longrightarrow X|\sigma(0)=\sigma(1)=x_0\}. En efecto, sea x\in X y U un entorno contráctil de x: la inclusión de x en U induce una aplicación \pi^{-1}(x)\longrightarrow\pi^{-1}(U) con inversa homotópica la aplicación inducida por la contracción de U a x. Consecuentemente, si x,y\in X pertenecen a la misma componente arcoconexa entonces un camino entre x e y induce \pi^{-1}(x)\simeq\pi^{-1}(y). De hecho, se puede demostrar que la aplicación \pi satisface la propiedad homotópica de cubierta y es por lo tanto una fibración de Serre.

Observemos que el espacio \mathcal{P}(X) es contráctil, luego su relevancia proviene de sus relaciones con X y \Omega X.

Espacio de lazos[editar]

La fibración del espacio de caminos permite calcular la cohomología del espacio de lazos de ciertos espacios topológicos. Nótese que la fibración \pi:\mathcal{P}(X)\longrightarrow X satisface H^q(\pi^{-1}(U))\cong\H^q(\Omega X) para abiertos contráctiles dado que \pi^{-1}U tiene el tipo de homotopía de \Omega X por la sección anterior.

Cálculo de H^*(\Omega S^2): usamos la sucesión espectral de Leray. La sucesión converge hacia la página E_\infty codificando H^*(\mathcal{P}(X))=H^0(\mathcal{P}(X))=\mathbb{Z}, así que el único elemento no cero de la página límite es E_\infty^{0,0}. En la segunda página obtenemos E_2^{p,q}=H^p(S^2,H^q(\pi^{-1}U))\cong H^p(S^2,H^q(\Omega S^2)). Como S^2 es simplemente conexa, \mathcal{P}(X) conexa la fibra es conexa luego H^0(\Omega S^2)=\mathbb{Z}. Teniendo en cuenta que H^*(S^2)=H^0(S^2)\oplus H^2(S^2), las únicas columnas no vacías en E_2 son la primera (p=0) y la tercera (p=2). En consecuencia los diferenciales en las páginas siguientes son nulos y por lo tanto los diferenciales d_2 entre las columnas deben ser isomorfos. Dado que d_2:E_2^{0,1}\cong H^1(\Omega S^2)\longrightarrow\mathbb{Z}, obtenemos H^q(\Omega S^2)\cong\mathbb{Z} para todo q.

El ejemplo anterior generaliza trivialmente para calcular H^*(\Omega S^n)\cong H^0(\Omega S^n)\oplus H^{n-1}(\Omega S^n)\oplus H^{2(n-1)}(\Omega S^n)\oplus\ldots\oplus H^{k(n-1)}(\Omega S^n)\oplus\ldots\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\oplus\ldots\oplus\mathbb{Z}\oplus\ldots. Ciertamente, sólo se tiene que llegar a la página E_n y aplicar el argumento anterior. En las referencias se calcula además la estructura de anillo de cohomología, es decir, los productos cup entre los generadores.

El cálculo de la cohomología de \Omega S^n tiene implicaciones directas en la existencia de (infinitas) geodésicas entre dos puntos. Este aplicación es debida a Raoul Bott y se puede encontrar en el libro de J.W. Milnor Morse Theory.

Referencias[editar]

  • Differential Forms in Algebraic Topology, Raoul Bott, Loring W. Tu. Springer GTM 82.