Espacio de caminos

El espacio de caminos de un espacio topológico con punto base (X,x_0) es un objeto fundamental en topología algebraica y en teoría de la homotopía, especialmente desde los resultados de J.P. Serre. En este artículo citamos las propiedades básicas de este espacio topológico y del espacio de lazos asociado.

Definición

Sea $(X,x_{0})$ un espacio topológico con $x_{0}\in X$ punto base. Los caminos del espacio X son aplicaciones continuas de [0,1] en X; en la categoría de espacios con punto base los caminos del espacio $(X,x_{0})$ son aplicaciones continuas ([0,1],0), luego la imagen de $0\in [0,1]$ debe ser $x_{0}\in X$. El espacio de caminos de $(X,x_{0})$ es el conjunto

${\mathcal {P}}(X):=\{\sigma :[0,1]\longrightarrow X{\mbox{ aplicación contínua}}|\sigma (0)=x_{0}\}$

dotado de la topología compacto-abierta. Existe una aplicación $\pi :{\mathcal {P}}(X)\longrightarrow X$ enviando cada camino al punto final, i.e. $\pi (\sigma )=\sigma (1)$.

La fibra de esta aplicación es homotópica al espacio de lazos $\Omega X=\{\sigma :[0,1]\longrightarrow X|\sigma (0)=\sigma (1)=x_{0}\}$. En efecto, sea $x\in X$ y U un entorno contráctil de x: la inclusión de x en U induce una aplicación $\pi ^{-1}(x)\longrightarrow \pi ^{-1}(U)$ con inversa homotópica la aplicación inducida por la contracción de U a x. Consecuentemente, si $x,y\in X$ pertenecen a la misma componente arcoconexa entonces un camino entre x e y induce $\pi ^{-1}(x)\simeq \pi ^{-1}(y)$. De hecho, se puede demostrar que la aplicación $\pi$ satisface la propiedad homotópica de cubierta y es por lo tanto una fibración de Serre.

Observemos que el espacio ${\mathcal {P}}(X)$ es contráctil, luego su relevancia proviene de sus relaciones con X y $\Omega X$.

Espacio de lazos

La fibración del espacio de caminos permite calcular la cohomología del espacio de lazos de ciertos espacios topológicos. Nótese que la fibración $\pi :{\mathcal {P}}(X)\longrightarrow X$ satisface $H^{q}(\pi ^{-1}(U))\cong \mathbb {H} ^{q}(\Omega X)$ para abiertos contráctiles dado que $\pi ^{-1}U$ tiene el tipo de homotopía de $\Omega X$ por la sección anterior.

Cálculo de $H^{*}(\Omega S^{2})$: usamos la sucesión espectral de Leray. La sucesión converge hacia la página $E_{\infty }$ codificando $H^{*}({\mathcal {P}}(X))=H^{0}({\mathcal {P}}(X))=\mathbb {Z}$, así que el único elemento no cero de la página límite es $E_{\infty }^{0,0}$. En la segunda página obtenemos $E_{2}^{p,q}=H^{p}(S^{2},H^{q}(\pi ^{-1}U))\cong H^{p}(S^{2},H^{q}(\Omega S^{2}))$. Como $S^{2}$ es simplemente conexa, ${\mathcal {P}}(X)$ conexa la fibra es conexa luego $H^{0}(\Omega S^{2})=\mathbb {Z}$. Teniendo en cuenta que $H^{*}(S^{2})=H^{0}(S^{2})\oplus H^{2}(S^{2})$, las únicas columnas no vacías en $E_{2}$ son la primera (p=0) y la tercera (p=2). En consecuencia los diferenciales en las páginas siguientes son nulos y por lo tanto los diferenciales $d_{2}$ entre las columnas deben ser isomorfos. Dado que $d_{2}:E_{2}^{0,1}\cong H^{1}(\Omega S^{2})\longrightarrow \mathbb {Z}$, obtenemos $H^{q}(\Omega S^{2})\cong \mathbb {Z}$ para todo q.

El ejemplo anterior generaliza trivialmente para calcular $H^{*}(\Omega S^{n})\cong H^{0}(\Omega S^{n})\oplus H^{n-1}(\Omega S^{n})\oplus H^{2(n-1)}(\Omega S^{n})\oplus \ldots \oplus H^{k(n-1)}(\Omega S^{n})\oplus \ldots \cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} \oplus \ldots$. Ciertamente, sólo se tiene que llegar a la página $E_{n}$ y aplicar el argumento anterior. En las referencias se calcula además la estructura de anillo de cohomología, es decir, los productos cup entre los generadores.

El cálculo de la cohomología de $\Omega S^{n}$ tiene implicaciones directas en la existencia de (infinitas) geodésicas entre dos puntos. Este aplicación es debida a Raoul Bott y se puede encontrar en el libro de J.W. Milnor Morse Theory.

Referencias

• Differential Forms in Algebraic Topology, Raoul Bott, Loring W. Tu. Springer GTM 82.

• Datos: Q954246