Empaquetado de círculos en un cuadrado

El empaquetado de círculos en un cuadrado es un problema de empaquetado propio de la matemática recreativa, donde el objetivo es empaquetar $n$ circunferencias unidad en el cuadrado más pequeño posible. De manera equivalente, el problema es organizar $n$ puntos en un cuadrado unitario con el objetivo de obtener la mayor separación mínima $d n$ entre los puntos.^[1] Para hacer equivalentes estas dos formulaciones del problema, el lado del cuadrado en el que se alojan los círculos unitarios será $L = 2 + 2 / d n$ .

Soluciones[editar]

Se han calculado soluciones (no necesariamente óptimas) para cada $N \leq 10.000$ . A continuación se muestran las soluciones^[2] hasta $N =20$ .^[2] El empaquetamiento de cuadrados obvio es óptimo para 1, 4, 9, 16, 25 y 36 círculos (los seis enteros cuadrados más pequeños), pero deja de ser óptimo para cuadrados más grandes a partir de 49 en adelante.^[2]

Número de círculos ( $n$ )	Lado del cuadrado ( $L$ )	$d n$ ^[1]	Densidad ( $n / L 2$ )
1	2	∞	0.25
2	$2+{\sqrt {2}}$ ≈ 3.414...	${\sqrt {2}}$ ≈ 1.414...	0.172...
3	$2+{\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {6}}{2}}$ ≈ 3.931...	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$ ≈ 1.035...	0.194...
4	4	1	0.25
5	$2+2{\sqrt {2}}$ ≈ 4.828...	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ≈ 0.707...	0.215...
6	$2+{\frac {12}{\sqrt {13}}}$ ≈ 5.328...	${\frac {\sqrt {13}}{6}}$ ≈ 0.601...	0.211...
7	$4+{\sqrt {3}}$ ≈ 5.732...	$4-2{\sqrt {3}}$ ≈ 0.536...	0.213...
8	$2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ ≈ 5.863...	${\frac {\sqrt {6}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ≈ 0.518...	0.233...
9	6	0.5	0.25
10	6.747...	0.421... A281065	0.220...
11	$3+{\sqrt {2}}+{\frac {\sqrt {6}}{2}}+{\frac {\sqrt {2+4{\sqrt {2}}}}{2}}$ ≈ 7.022...	0.398...	0.223...
12	$2+15{\sqrt {\frac {2}{17}}}$ ≈ 7.144...	${\frac {\sqrt {34}}{15}}$ ≈ 0.389...	0.235...
13	7.463...	0.366...	0.233...
14	$6+{\sqrt {3}}$ ≈ 7.732...	${\frac {8}{13}}-{\frac {2{\sqrt {3}}}{13}}$ ≈ 0.349...	0.226...
15	$4+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ ≈ 7.863...	${\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ≈ 0.341...	0.243...
16	8	0.333...	0.25
17	8.532...	0.306...	0.234...
18	$2+{\frac {24}{\sqrt {13}}}$ ≈ 8.656...	${\frac {\sqrt {13}}{12}}$ ≈ 0.300...	0.240...
19	8.907...	0.290...	0.240...
20	${\frac {130}{17}}+{\frac {16}{17}}{\sqrt {2}}$ ≈ 8.978...	${\frac {3}{8}}-{\frac {\sqrt {2}}{16}}$ ≈ 0.287...	0.248...

Empaquetado de círculos en un rectángulo[editar]

También se ha investigado el empaquetado denso de círculos en rectángulos.^[3]^[4]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

↑ ^a ^b Croft, Hallard T.; Falconer, Kenneth J.; Guy, Richard K. (1991). Unsolved Problems in Geometry. New York: Springer-Verlag. pp. 108–110. ISBN 0-387-97506-3.
↑ ^a ^b ^c Eckard Specht (20 de mayo de 2010). «The best known packings of equal circles in a square». Consultado el 25 de mayo de 2010.
↑ Lubachevsky, Boris D.; Graham, Ronald L. (2009). «Minimum perimeter rectangles that enclose congruent non-overlapping circles». Discrete Mathematics (Elsevier BV) 309 (8): 1947-1962. ISSN 0012-365X. S2CID 783236. arXiv:math/0412443. doi:10.1016/j.disc.2008.03.017.
↑ Specht, E. (2013). «High density packings of equal circles in rectangles with variable aspect ratio». Computers & Operations Research (Elsevier BV) 40 (1): 58-69. ISSN 0305-0548. doi:10.1016/j.cor.2012.05.011.

Datos: Q5121499

[upg-1] Croft, Hallard T.; Falconer, Kenneth J.; Guy, Richard K. (1991). Unsolved Problems in Geometry. New York: Springer-Verlag. pp. 108–110. ISBN 0-387-97506-3.

[bestcirclepacking-2] Eckard Specht (20 de mayo de 2010). «The best known packings of equal circles in a square». Consultado el 25 de mayo de 2010.

[Lubachevsky2009-3] Lubachevsky, Boris D.; Graham, Ronald L. (2009). «Minimum perimeter rectangles that enclose congruent non-overlapping circles». Discrete Mathematics (Elsevier BV) 309 (8): 1947-1962. ISSN 0012-365X. S2CID 783236. arXiv:math/0412443. doi:10.1016/j.disc.2008.03.017.

[Specht2013-4] Specht, E. (2013). «High density packings of equal circles in rectangles with variable aspect ratio». Computers & Operations Research (Elsevier BV) 40 (1): 58-69. ISSN 0305-0548. doi:10.1016/j.cor.2012.05.011.

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