El truco de Rabinowitsch

En matemáticas, el truco de Rabinowitsch, introducido por J.L. Rabinowitsch (1929), es una forma de demostrar el caso general del Nullstellensatz de Hilbert, a partir de un caso especial más fácil (el llamado Nullstellensatz débil), introduciendo una variable adicional.

El truco de Rabinowitsch funciona de la siguiente manera: Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado. Supóngase que el polinomio f en $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ se anula siempre que todos los polinomios $f_{1},\dots ,f_{m}$ se anulan. Entonces los polinomios $f_{1},\dots ,f_{m},1-x_{0}f$ no tienen ceros comunes (donde hemos introducido una nueva variable $x_{0}$). Por lo tanto, por el Nullstellensatz débil para $K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]$, estos polinomios generan el ideal unitario de $K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]$. Esto significa que existen polinomios $g_{0},g_{1},\dots ,g_{m}\in K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]$, tales que

$1=g_{0}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})(1-x_{0}f(x_{1},\dots ,x_{n}))+\sum _{i=1}^{m}g_{i}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$

como una igualdad de elementos del anillo polinomial $K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]$ . Como $x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}$ son variables libres, esta igualdad continúa siendo válida si se sustituye $x_{0}$ por $x_{0}=1/f(x_{1},\dots ,x_{n})$. Haciendo esto se obtiene

$1=\sum _{i=1}^{m}g_{i}(1/f(x_{1},\dots ,x_{n}),x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$

como elementos del campo de funciones racionales $K(x_{1},\dots ,x_{n})$. Es decir, del campo de fracciones del anillo polinomial $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$. Además, las únicas expresiones que ocurren en los denominadores del lado derecho son f y potencias de f. Por lo tanto, tomando común denominador en el lado derecho, da como resultado una igualdad de la forma

$1={\frac {\sum _{i=1}^{m}h_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}{f(x_{1},\dots ,x_{n})^{r}}}$

para algún número natural r y polinomios $h_{1},\dots ,h_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ . Por lo tanto

$f(x_{1},\dots ,x_{n})^{r}=\sum _{i=1}^{m}h_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n}),$

Esto quiere decir que $f^{r}$ pertenece al ideal generado por $f_{1},\dots ,f_{m}$_. Es decir: $f$ pertenece al radical del ideal generado por $f_{1},\dots ,f_{m}$_. Esta es la versión completa del Nullstellensatz para $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$.

Referencias

• Brownawell, W. Dale (2001), «El truco de Rabinowitsch», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Rabinowitsch, J.L. (1929), «Zum Hilbertschen Nullstellensatz», Math. Ann. (en alemán) 102 (1): 520, doi:10.1007/BF01782361 .